Связь между решениями прямой и двойственной задач

Каждая из задач двойственной пары (3.21)-(3.23) и (3.24)-(3.26) фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой. Однако, при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач, тем самым находится решение и другой задачи.

Существующие зависимости между оптимальными решениями пары двойственных задач характеризуется следующими теоремами.

Теорема 3.6

1. Если одна из пары двойственных задач (3.21)-(3.23) и (3.24)-(3.26) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т.е. F_max =L_min.

2. Если же целевая функция одной из пары двойственных задач не ограничена (для исходной (3.21)-(3.23) – сверху, для двойственной (3.24)-(3.26) – снизу), то другая задача вообще не имеет планов.

Экономическое содержание теоремы (в терминах постановки задачи об использовании сырья):

1. Допустимый план производства и вектор оценок ресурсов оказываются оптимальными тогда, когда объем реализации продукции, измеренный во внешних ценах С_j будет равен суммарной оценке всех ресурсов, измеренных во внутренних «ценах» у_i, выделенных для производственного потребления.

2. Никакой допустимый план производства Х=(х₁…х_п) не будет оптимальным, если используемые ресурсы нельзя оценить во внутренних «ценах» у_i. И наоборот, если внутренние оценки ресурсов у_i чрезмерно завышены, то ни один план производства Х не будет рентабельным.