Экономическая интерпретация двойственности

Рассмотрим примеры некоторых математических моделей ЗЛП, построенных в разделе 2, и составим для них двойственные задачи, пользуясь правилами таблицы (см. раздел 3.5.1).

Двойственная задача: L = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4 ® min y1 + 2y2 - y3 +0y4 ≥ 3 2y1 + y2 + y3 + y4 ≥ 2 yI ≥ 0,
Прямая задача: F = 3x1 + 2x2 ® max x1 + 2x2 ≤ 6 2x1 + x2 ≤ 8 x2 ≤ 2 x1,x2 ≥ 0

Пример 3.6 Задача об использовании сырья (пример 2.1)

 

Каждая двойственная переменная сопоставляется соответствующему по номеру ограничению прямой задачи и, тем самым, ёё экономическое содержание обусловлено некоторым свойством функционирования описываемой математической моделью экономической системы, которое характеризуется данным ограничением.

Таким образом, yі ≥ 0, , можно считать оценкой единицы i-го ресурса, например его ценой или ценностью. Так y1 и y2 - оценки использования единицы продуктов А и В соответственно.

Третье и четвертое ограничения относятся к спросу. Это требование можно рассмотреть как ограничение на соответствующие «ресурсы», так как увеличение спроса на продукцию эквивалентно расширению «представительства» фирмы на рынке сбыта. В отношении финансовых средств такая ситуация имеет те же последствия, что и увеличение запасов ресурсов (исходных продуктов) требующее распределение дополнительных вложений. Поэтому y3 и y4 можно рассматривать как оценку дополнительного эффекта от расширения фирмой рынка сбыта своей продукции.

Наряду с выпуском продукции с целью получения максимальной прибыли от ее реализации (целевая функция прямой задачи) фирма решает задачу о реализации ресурсов на сторону. Условием такой реализации будет превышение суммарной стоимости использованных на производство единицы j-го вида красок (j=1,2) ресурсов (левая часть системы ограничений двойственной задачи) над прибылью, которую фирма получает от реализации единицы готовой продукции, т.е. красок Е и I (правая часть системы ограничений двойственной задачи).

Чтобы не допустить необоснованного завышения оценок ресурсов, yi выбираются так, чтобы суммарная оценка всех ресурсов была минимальной (целевая функция двойственной задачи).

Кроме того, из экономического содержания следует неотрицательность оценок yi, т.е., yi≥0, .

Пример 3.7 Задача об ассортименте продукции (пример 2.2)

Двойственная задача: L = 430y1 + 460y2 + 420y3 ® min y1 + 3y2 + y3 ≥ 3 2y1 + 0y2 + 4y3 ≥ 2 y1 + 2y2 + 0*y3 ≥ 5 yi ≥ 0,
Прямая задача: F = 3x1 + 2x2 + 5x3 ® max x1 + 2x2 + x3 ≤430 3x1 +2x3 ≤ 460 x1+4x2 ≤ 420 xj ≥ 0,

 

В данной ситуации yi, , выступает в качестве оценки i-й операции, например стоимость 1 минуты использования её фонда рабочего времени, включающая оплату обслуживания оборудования, заработную плату рабочих и т.п.

Исходя из данного определения двойственных переменных, целевая функция двойственной задачи выражает минимальную суммарную оценку сдачи предприятием, например, в аренду своего оборудования. Условием применения такой стратегии является превышение полных затрат на производство j-го вида готовой продукции (левая часть системы ограничений двойственной задачи) над ожидаемой прибылью от ёё реализации (правая часть системы ограничений двойственной задачи).

Из экономического смысла двойственных переменных следует, что yi≥0, .