Пример выделения сезонной волны с использованием рядов Фурье.
В широком смысле к сезонным колебаниям относятся все явления, где обнаруживается закономерность внутригодичных изменений. Не всегда колебания связаны со сменой времени года. К сезонным могут относится неравномерности производственной деятельности, перевозки пассажирским транспортом, спрос на многие виды продукции и услуги и т.д.
Для исследования явлений периодического типа в качестве математической модели развития во времени можно использовать уравнение следующего типа (ряд Фурье)
(1)
Где k определяет гармонику ряда Фурье, которая может быть получена с разной степенью точности (чаще всего от 1 до 4)
Для отыскания параметров модели используется метод наименьших квадратов.
Он позволяет получить следующие формулы для вычисления параметров (1).
; 
; 
(2)
Для изучения сезонных колебаний на протяжении года необходимо взять n=12 (по числу месяцев в году). Тогда представляя периоды как части длины окружности, ряд динамики изменения прибыли можно записать в следующем виде:
| Период | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| Уровень | Y0 | Y1 | Y2 | Y3 | Y4 | Y5 | Y6 | Y7 | Y8 | Y9 | Y10 | Y11 |
Для вычисления синусов и косинусов разных гармоник, можно воспользоваться таблицей
| t | Cost | Cos2t | Cos3t | Cos4t | Sin t | Sin2t | Sin3t | Sin4t |
|
| 0,866 | 0,5 | -0,5 | 0,5 | 0,866 | 0,866 | ||
|
| 0,5 | -0,5 | -1 | -0,5 | 0,866 | 0,866 | -0,866 | |
|
| -1 | -1 | ||||||
|
| -0,5 | -0,5 | -0,5 | 0,866 | -0,866 | 0,866 | ||
|
| -0,866 | 0/5 | -0,5 | 0,5 | -0,866 | -0,866 | ||
|
| -1 | -1 | ||||||
|
| -0/866 | 0,5 | -0,5 | -0,5 | 0,866 | -1 | 0,866 | |
|
| -0,5 | -0,5 | -0,5 | -0,866 | 0,866 | -0,866 | ||
|
| -1 | -1 | ||||||
|
| 0,5 | -0,5 | -1 | -0/5 | -0,866 | -0,866 | 0,866 | |
|
| 0,866 | 0,5 | -0,5 | -0,5 | -0,866 | -1 | -0,866 |
Так как t в годовой динамике соответствует номеру месяца, то t=0 соответствует январю, t= 
соответствует февралю и т.д. При определении параметров aк и bк надо находить произведение уровней данного месяца на синусы и косинусы соответствующих гармоник. Так для k=1 уравнение (1) примет вид:
уt=а0+а1Cos t+b1Sin t,
в которой параметры а0, а1 и b1 определяется из соотношений:
а0 = 
; а1= 
; b1= 
расчеты первой и второй гармонии ряда Фуры рассмотрены на примере получения прибыли конкретного магазина.
Все необходимые расчеты приведены в таблице
| Месяцы | t | Прибыль в тыс.руб. | yCost | ySin t | 
| yCos2t | ySin2 t |
|
| Январь | 126,261 | 157,011 | ||||||
| Февраль |
| 75,342 | 43,5 | 80,592 | 43,5 | 75,342 | 80,593 | |
| Март |
| 38,5 | 66,682 | 41,378 | -38,5 | 66,682 | 10,629 | |
| Апрель |
| 19,118 | -22 | -11,632 | ||||
| Май |
| -22,5 | 38,97 | 19,784 | -22,5 | -38,97 | 19,783 | |
| Июнь |
| -43,3 | 43,193 | -43,3 | 73,942 | |||
| Июль |
| -125 | 82,973 | 113,723 | ||||
| Август |
| -121,24 | -70 | 128,741 | 121,24 | 128,742 | ||
| Сентябрь |
| -64 | -110,8 | 167,951 | -64 | 110,848 | 137,202 | |
| Октябрь |
| -92 | 190,216 | -92 | 159,466 | |||
| Ноябрь |
| -86,6 | 189,546 | -50 | -86,6 | 189,545 | ||
| Декабрь |
| 311,76 | -180 | 166,141 | -311,76 | 196,89 | ||
| Итого: | 129,562 | -343,3 | 1255,9 | 184,5 | -106,52 | 1255,9 |
Используя первую гармонику ряда Фуры, получим следующие значения параметров уравнения:
a0=1256:12=104,667; а1=129,562:6=21,594; b1=-513,296:6=-85,549.
Уравнение модели будет иметь вид: =104,667+21,594Cost-85,549Sin t.
Применим к этим же данным вторую гармонику ряда Фурье для выражения модели сезонности. Параметры а2 и b2 найдем по формулам:
а2= 
=184,5/6=30,75; b2= 
=(-106,52)/6=-17,753.
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение ряда Фурье, будем иметь следующую модель сезонной волны:
=104,667+21,594Cost-85,549Sin t+30,75Cos2t-17,753 Sin2t.
Расчеты третей и четвертой гармоник представлены в следующей таблице.
| Месяцы | t | При-ль в тыс. руб. | yCost | ySin t |
| yCos2t | ySin2 t |
|
| Январь | 140,511 | 103,094 | ||||||
| Февраль |
| 31,76 | -43,5 | 75,342 | 20,095 | |||
| Март |
| -77 | 27,129 | -38,5 | -66,682 | 76,21 | ||
| Апрель |
| -22 | 37,201 | -0,216 | ||||
| Май |
| 3,283 | -22,5 | 38,97 | -8,382 | |||
| Июнь |
| 25,109 | -25 | -43,3 | 74,19 | |||
| Июль |
| -125 | 130,223 | 92,803 | ||||
| Август |
| -140 | 177,575 | -70 | 121,24 | 165,91 | ||
| Сентябрь |
| 120,702 | -64 | -110,85 | 169,783 | |||
| Октябрь |
| 110,633 | 73,216 | |||||
| Ноябрь |
| -100 | 206,045 | -50 | 86,6 | 194,38 | ||
| Декабрь |
| -360 | 245,723 | -180 | -311,76 | 294,804 | ||
| Итого: | -99 | -293 | 1255,9 | -224,5 | -210,44 | 1255,9 |
Параметры третьей и четвертой гармоник будут соответственно вычислены по следующим формулам:
a3=(-99)/6=-16,5; a4=(-224,5)/6=-35,073; b3=(-293)/6=48,883;
b4=(-210,438)/6= -35,073.
Тогда выделенная сезонная волна, учитывающая четыре гармоники, будет иметь следующий вид:
=104,667+21,594Cost-85,549Sin t+30,75Cos2t-17,753 Sin2t-16,5 Cos3t-
48,833Sin3t-37,417 Cos4t-35,073 Sin4t.
Результаты по данной модели представлены в последнем столбце модели.
Результаты сезонной волны и исходные данные нанесены на координатную плоскость, где по оси абсцисс откладываются месяцы, а по оси ординат прибыль. (1-исходные данные; 2- сезонная волна)
Из графика видно, что сезонная волна имеет место на фоне ярко выраженного тренда и случайной составляющей (например, работа магазина, реклама, изучение спроса).
Все расчеты проведены на реальных данных и для реального магазина.