Второе достаточное условие экстремума

Пусть в точке x₀ первая производная равна нулю: f(x₀) = 0, т.е. точка x₀ является стационарной точкойфункции f(x). Пусть также в этой точке существует вторая производная f ''(x₀). Тогда:

• Если f ''(x₀) > 0, то x₀ является точкой строгого минимума функции f(x);
• Если f ''(x₀) < 0, то x₀ является точкой строгого максимума функции f(x).

Доказательство.
В случае строгого минимума f ''(x₀) > 0. Тогда первая производная представляет собой возрастающую функцию в точке x₀. Следовательно, найдется число δ > 0, такое, что

∀ x ∈ (x₀ − δ, x₀) ⇒ f '(x) < f '(x₀),

∀ x ∈ (x₀, x₀ + δ) ⇒ f '(x) > f '(x₀).

Поскольку f '(x₀) = 0 (так как x₀ − стационарная точка), то следовательно, в δ-окрестности слева от точки x₀первая производная отрицательна, а справа − положительна, т.е. первая производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x₀. По первому достаточному признаку экстремума это означает, что x₀ − точка строгого минимума.

Аналогично рассматривается случай максимума.

Второй достаточный признак экстремума удобно применять, когда вычисление первых производных в окрестности стационарной точки затруднительно. С другой стороны, второй признак можно использовать лишь для стационарных точек (где первая производная равна нулю) − в отличие от первого признака, который применим к любым критическим точкам.