Решение системы находим по формулам Крамера
.
Вычислим определитель системы
.
Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно
;
;
.
Ответ : .
2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы
.
Решение.
Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).
Вычислим определитель данной системы :
,
следовательно, система имеет единственное решение.
Данную систему можно записать в матричной форме :
, где , , .
Так как , то для матрицы существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение слева на , получим , откуда , или .
Найдем обратную матрицу по формуле
,
где алгебраическое дополнение элемента .
,
,
.
.
Тогда
.
Ответ : .
3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений
.
Решение.
Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду
.
Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим
.
Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим
.
Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим
.
Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,
.
Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим , ; затем из второго уравнения находим , ; из первого уравнения получим , .
Ответ : .
4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .
Решение.
Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме , или , . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе - число неизвестных и число уравнений. , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра . Иногда общее решение удобнее использовать в форме
.
5. При каких значениях система
имеет нетривиальные (ненулевые) решения ? Найти эти решения.
Решение.
Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения :
.
Найдем теперь соответствующие решения.
1) При система имеет вид :
.
Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем
.
Так как определитель из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с в правые части уравнений :
.
Полученную систему можно решить по формулам Крамера :
где , , .
Тогда , . Полагая , где произвольное действительное число , получаем решение системы : , , .
2) При система имеет вид :
.
Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу полученной системы :
и приведем ее к матрице ступенчатого вида :
.
Восстановим систему для полученной матрицы
.
Полагая , где произвольное действительное число, получаем решение системы : .
Ответ : При система имеет нетривиальные решения : , , , . При система имеет нетривиальные решения : , .