Основы алгебры логики

Рассмотрим некоторые теоремы и аксиомы алгебры логики, наиболее часто используемые для упрощения аналитического выражения, описывающего логическую функцию.

1 Закон двойного отрицания: .

2 Закон коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции (переместительный закон):

,

 

.

 

3 Закон ассоциативности (сочетательный закон):

 

,

 

.

 

4 Закон дистрибутивности (распределительный закон):

 

,

 

.

 

5 Закон отрицания (правило де Моргана):

 

,

 

.

 

6 Закон идемпотентности:

 

,

 

,

 

,

 

,

 

,

 

.

 

7 Закон склеивания:

 

,

 

.

 

8 Закон поглощения:

 

,

 

.

 

9 Константы: , .

Легко заметить, что все теоремы (за исключением первой) представлены парой соотношений, каждое из которых получается заменой операции И на ИЛИ, операции ИЛИ на И, логической 1 на логический 0 или логического 0 на логическую 1. Теоремам булевой алгебры присуще свойство симметрии, известное как принцип двойственности.

Несмотря на то, что многие теоремы записаны для двух логических переменных, в большинстве случаев число переменных может быть неограниченным.