Примеры решения задач

Задача 1. Достроить плоский четырехугольник (рис.5.4).

Дано: Решение:

Рис.5.4

Решение задачи сводится к построению недостающей проекции точки D, принадлежащей плоскости, заданной точками А,В,C. Зададим эту плоскость треугольником АВC, для чего соединим точки В и C прямой линией на обеих проекциях. Проведем фронтальную проекцию диагонали четырехугольника А₂D₂. Затем достроим вторую ее проекцию, для чего из точки пересечения фронтальных проекций диагоналей (точка О₂) опустим линию проекционной связи на прямую D₁C₁. Прямая А₁О₁ задаст направление диагонали четырехугольника на горизонтальной проекции. Пересекаем Прямую А₁О₁ с соответствующей линией связи (из D₂), получаем искомую проекцию точки С. Точка С принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. принадлежит прямой АО, лежащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. имеет с ней две общие точки (А и О). Следовательно, достроенный четырехугольник – плоский.

Задача 2. Достроить точку А, если она принадлежит плоскости D ВСD (рис.5.5). Дано: Решение:

 

Рис.5.5

 

 

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Через известную проекцию точки А - точку А₁- проводим произвольную прямую. Строим вторую проекцию введенной прямой, которая должна лежать в заданной плоскости. Для этого фиксируем точки пересечения 1₂ и 2₂ со сторонами треугольника В₂D₂ и C₂D₂. Отыскиваем горизонтальные проекции точек 1 и 2 на соответствующих сторонах горизонтальной проекции треугольника ВСD. Строим горизонтальную проекцию прямой 12 (1₁2₁), пересечение которой с линией связи из точки А₂, определит искомую проекцию точки А.

 

Задача 3. Через заданную точку Е с помощью главных линий построить плоскость b(hÇf) параллельно заданной плоскости a(a||b). Построенную плоскость задать параллельными прямыми (рис.5.6).

Дано:

 

 

 

 

Решение:

 

 

Рис.5.6

 

Построим вначале главные линии плоскости a. Построение главных линий начинают с проведения тех проекции, направление которых всегда известно (у горизонтали - это ее фронтальная проекция h'₂||OX ; у фронтали - ее горизонтальная проекция f''₁||OX ). На рис. 5.6 главные линии плоскости проведены через точку А, произвольно выбранной в плоскости a. Проведя затем через точку E параллельные прямые (h'₂||h₂ и f''₁|| f'₁), най­дем искомую плоскость b(hÇf) || a(a||b). Для того, чтобы перезадать плоскость b(hÇf) параллельными прямыми, достаточно через любую точку плоскости, например, через выбранную произвольно точку К, провести прямую m, параллельно любой прямой, лежащей в этой плоскости (в данном примере m||f, при этом m₁||f₁ и m₂||f₂). Плоскость b теперь задана параллельными прямыми m||f.

Задача 4. Построить линию пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения a(aÇb) и фронтально-проецирующей плоскости b(b₂)(рис.5.7).

Дано: Решение:

Рис.5.7

 

Линия пересече­ния двух плоскостей в данном случае определяется двумя точками пересече­ния следа фронтально-проецирующей плоскости b₂ с двумя прямыми а и с в пло­скости a. При этом прямая с(с₁,с₂) - дополнительная, проведенная произ­вольно в плоскости, но так, чтобы точка К линии пересече­ния получилась в поле заданного чертежа. Точки К и L являются общими для двух заданный плоскостей, а , следовательно, и определяют искомую линию пересечения: (КL)= a(aÇb) Ç b(b₂).

 

Задача 5. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения: a(DАВС) и b(а||b)(рис.5.8).

 

 

Дано:

 

 

Решение:

Рис. 5.8

 

При решении этой задачи используется метод секущих плоскостей. Так как две плоскости пересекаются по прямой линии, определяемой двумя точками, для построения необходимо ввести две дополнительные секущие плоскости. Порядок решения задачи:

1. Вводим дополнительную секущую плоскость d( d₂). В качестве секущей плоскости выбрана фронтально-проецирующая плоскость, заданная своим следом на фронтальной плоскости проекций. (В качестве секущей плоскости может быть выбрана произвольная проецирующая плоскость).

2. Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости d(d₂) с плоскостью общего положения a(DАВС) (см.пример 4): 12(1₁2₁;1₂2₁)= d( d₂) Ça(DАВС).

3. Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости d(d₂) с плоскостью общего положения b(а||b): 34(3₁4₁;3₂4₂)= d( d₂) Çb(а||b).

4. Строим точку М как точку пересечения прямых 12 и 34: М₁=1₁2₁ Ç3₁4₁ Вторая проекция точки М точка М₂, отыскивается на следе вспомогательной секущей плоскости d( d₂) с помощью лини проекционной связи. Точка М является искомой точкой, поскольку принадлежит одновременно трем плоскостям: вспомогательной d( d₂) и заданных a(DАВС) и b(а||b), и , следовательно, является точкой, принадлежащей линии пересечения двух исходных плоскостей.

5. Аналогично строится вторая точка, принадлежащая линии пересечения N. Для этого вводится еще одна вспомогательная секущая плоскость g(g₂). Плоскость g(g₂) также является фронтально-проецирующей плоскостью, кроме того, параллельной плоскости d( d₂). Это является необязательным, поскольку вспомогательные плоскости могут быть выбраны совершенно произвольно.

6. После построения точки N проводим прямую MN, которая является искомой линией пересечения двух исходных плоскостей.

 

Задача 6. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения a(DАВС) и b(DDEF) (рис.5.9).

Дано:

Рис.5.9

 

Решение:

 

Рис. 5.9 (продолжение)

 

Задача решается аналогично предыдущей. Для уменьшения количества вспомогательных построений в качестве секущих введены плоскости d( d₂) и g(g₂) через прямые, принадлежащие одной из плоскостей (DE и DF), следы секущий плоскостей совпадают соответствующими проекциями этих прямых.