Апертурные алгоритмы на базе полиномиальной интерполяции

Полиномиальная интерполяция нулевого порядка (ПИНП) для представления максимально возможного числа последовательных выборок при заданном значении горизонтальной апертуры Dx, ширина которой равна удвоенному значению допустимой погрешности Е, использует ступенчатую функцию. При ПИНП максимизируется время, в течение которого сигнал x(t) пребывает внутри выбранной апертуры. Это достигается за счет того, что в момент выхода сигнала за границы апертуры, последняя перемещается по вертикали таким образом, чтобы отсчеты оставались внутри ее границ возможно большее время. Практически определение нового положения оси апертуры, соответствующей значению передаваемой выборки, выполняется путем вычисления среднего арифметического двух фактических выборок, полученных на обеих границах интервала.

Полиномиальная интерполяция первого порядка (ПИПП) обеспечивает аппроксимацию считываемых данных кривой, описываемой полиномом первого порядка. Существует несколько разновидностей ПИПП. Оптимальным вариантом ПИПП является интерполяция с четырьмя степенями свободы ПИПП-4, когда произвольно задается начальная и конечная точки прямой, проходящей так, чтобы охватить максимально возможное число выборок, располагающихся внутри апертуры. Другими словами вычисление координат начала и конца отрезка аппроксимирующей прямой осуществляется так, чтобы длина этого отрезка была максимальной при заданном значении допустимой погрешности e. Отдельные отрезки при использовании этого метода ПИПП соединяются друг с другом так же отрезками прямых.

Метод ПИПП-4 обеспечивает максимально возможное сжатие, однако реализация его на практике довольно сложна. Поэтому часто применяют другие методы ПИПП: с использованием стыкующихся отрезков, с использованием нестыкующихся отрезков. В методе ПИПП с использованием стыкующихся отрезков (ПИПП-СО) начальная точка нового отрезка аппроксимирующей прямой совмещается с конечной точкой предыдущего отрезка, причем один из концов отрезка располагается на фактической выборке, а другой — на границе апертуры. Здесь на каждом интервале аппроксимации передается информация только об одной конечной точке отрезка аппроксимации, что, казалось бы, должно повысить эффективность кодирования по сравнению с ПИПП-4. Но это не так, потому что количество отрезков аппроксимации в ПИПП-СО может почти вдвое превышать таковое в ПИПП-4. Кроме того, в ПИПП-СО значения восстанавливаемых сигналов, как правило, дальше отстоят от реальных значений, что приводит к повышению числа выборок для увеличения точности восстановления информации.

Для компенсации недостатков ПИПП-СО был разработан метод ПИПП с использованием нестыкующихся отрезков (ПИПП-НСО). Начальные точки аппроксимирующих отрезков прямой в методе ПИПП-НСО всегда совмещаются с фактическими выборками, соответствующими моменту, когда предыдущий аппроксимирующий отрезок прямой выходит за пределы апертуры. Такой прием позволяет минимизировать значение изменения угла наклона смежных отрезков аппроксимации, т.е. уменьшить колебательный характер аппроксимирующей функции. Метод ПИПП-НСО обеспечивает высокий коэффициент уплотнения информации, несмотря на то, что приходится передавать информацию об обоих концах каждого отрезка аппроксимации. Объясняется это уменьшением общего числа выборок за счет более точного метода разбиения на отрезки аппроксимации.

Еще одной разновидностью ПИПП является так называемая веерная интерполяция. Здесь начала и концы каждого из отрезков аппроксимаци совпадают с фактическими выборками, а сам отрезок располагается так, чтобы охватить максимально возможное количество точек отсчета, попадающих внутрь апертуры. При веерной интерполяции осуществляется весьма заметное сглаживание сигнала, поэтому ее рационально рекомендовать в тех случаях, когда на сигнал наложена высокочастотная помеха.