Квадратурная формула Симпсона
Предположим, что n = 2m, где n – общее число отрезков разбиения промежутка [a, b]. Затем на каждом отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 аппроксимируем кривую y = f(x) параболической кривой zk = akx2 + bkx + ck, где коэффициенты ak, bk и ck определены таким образом, чтобы кривая zk проходила через точки (xk, f(xk)), (xk + 1, f(xk + 1)) и (xk + 2, f(xk + 2)). Очевидно, что исходя из этих условий коэффициенты ak, bk и ck определяются однозначно.
Заменим далее площадь под кривой y = f(x) на каждом отрезке
[xk, xk + 2], k = 0, 2, 4, …, 2m – 2 площадью параболической трапеции, ограниченной сверху определенной по правилу параболической кривой
zk = akx2 + bkx + ck. Такая замена приведет к квадратурной формуле Симпсона (ее называют также квадратурной формулой параболических трапеций) на каждом отрезке [xk, xk + 2]:
(4.3.23)
Составная квадратурная формула Симпсона (параболических трапеций) для отрезка [a, b] имеет вид
(4.3.24)
Для квадратурной формулы Симпсона (4.3.23) оценка погрешности аппроксимации определяется неравенством
, (4.3.25)
где 
– максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [xk, xk + 2], k = 0, 2, 1, …, 2m – 2.
Для составной квадратурной формулы Симпсона (4.3.24)
, (4.3.26)
где M4 – максимум модуля четвертой производной функции f(x) на отрезке [a, b].
Таким образом, квадратурная формула Симпсона (4.3.23) имеет пятый, а составная квадратурная формула (4.3.24) – четвертый порядок точности по h. Из оценок (4.3.25) и (4.3.26) следует также, что квадратурная формула Симпсона (4.3.23) точна для полиномов до третьего порядка включительно.
Организация расчетов по рассмотренным квадратурным формулам предельно проста, поскольку сводится к суммированию с весовыми коэффициентами значений интегрируемой функции в узлах той или иной квадратурной формулы. Например, при использовании составной формулы Симпсона (4.3.24) данные удобно представить в виде таблицы, аналогичной табл. 4.3.1 (n = 2m – общее число отрезков разбиения отрезка интегрирования [a, b] должно быть четным).
Таблица 4.3.1
| Номер узла | xi | f(xi), i = 0, 2m | f(xi), i = 2k – 1, k = 1, 2, …, m | f(xi), i = 2k, k = 1, 2, ..., m – 1 |
| x0 | f(x0) | |||
| x1 | f(x1) | |||
| x2 | f(x2) | |||
| x3 | f(x3) | |||
| x4 | f(x4) | |||
| x5 | f(x5) | |||
| x6 | f(x6) | |||
| x7 | f(x7) | |||
| x8 | f(x8) | |||
| x9 | f(x9) | |||
| x10 | f(x10) | |||
| ∑ | (1) | (2) | (3) | |
| I » h[(1) + 4(2) + 2(3)]/3 |
В заключение дадим общую характеристику рассмотренных квадратурных формул.
1. Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников редко применяются в реальных расчетах ввиду их невысокой точности. В практическом отношении наибольшую ценность имеет часто используемая квадратурная формула Симпсона.
2. Выбор наилучшего распределения узлов на отрезке интегрирования является дополнительной возможностью для повышения точности квадратурных формул. Эта возможность реализована в квадратурных формулах Гаусса, имеющих наивысшую алгебраическую точность.
3. Исходя из приведенных выше оценок погрешностей аппроксимации, нельзя вычислить действительную точность приближенного значения определенного интеграла, найденного с помощью квадратурных формул. Это объясняется невозможностью с достаточной степенью точности оценить значение максимума модуля производной интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Рассматриваемое в п. 4.3.2 правило Рунге позволяет обойти эту проблему при оценке точности численного интегрирования.