Приведение электрического сопротивления нагреваемого цилиндра к току индуктора

При рассмотрении индукционной системы индуктор–деталь без учета краевых эффектов, т.е. при условии, что система длиной — отрезок системы бесконечной длины можно использовать схему, приведенную на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Схема замещения системы индуктор–деталь

Здесь и — внутренние электрические активное и реактивное сопротивления индуктора; , , — активное и реактивное сопротивления цилиндра, а также индуктивное сопротивление, определяемое магнитным потоком рассеяния, приведенные к току индуктора, определяются по формулам:

, , ,

где — число витков индуктора, и — внутренние электрические активное и реактивное сопротивления цилиндра (см. п. 1.2), — индуктивное сопротивление, определяемое магнитным потоком рассеяния в зазоре между индуктором и деталью, определяется по формуле:

При этом полное электрическое сопротивление индуктора равно:

В реальном случае конечной длины индуктора и загрузки используется схема замещения индуктора, приведенная на рис. 1.9.

Рис. 1.9. Схемы замещения индуктора и векторная диаграмма: а — магнитная схема замещения; б — электрическая схема замещения; в — векторная диаграмма

На рис. 1.9, а приведена примерная картина магнитного поля индуктора длиной , внутри которого находится нагреваемый объект длиной , а также магнитная схема замещения системы [1].

Будем считать, что все витки индуктора охватывает один и тот же магнитный поток . На длине магнитный поток проходит по нагреваемому объекту и индуктору в виде двух составляющих: (поток рассеяния) и (поток в нагреваемом объекте), а на остальном пути — одним общим потоком .

Примем идеализированную картину магнитного поля, в которой внутри индуктора все силовые линии параллельны оси, а внешнее поле такое же, как у пустого индуктора. В соответствии с магнитной схемой замещения на рис. 1.9, а полный ток индуктора расходуется на проведение общего магнитного потока внутри индуктора на участке и на всем пути его обратного замыкания.

Магнитной схеме замещения соответствуют приведенная на рис. 1.9, б электрическая схема замещения и векторная диаграмма на рис. 1.9, в. Электрическая схема замещения дополнена внутренним реактивным сопротивлением индуктора и активным сопротивлением .

Индуктивное сопротивление рассеяния для картины равномерного поля на участке рассчитывается по формуле:

где — площадь поперечного сечения воздушного зазора, м²; — длина нагреваемого объекта, м; — число витков.

В дальнейшем для простоты примем, что число витков индуктора . Если , то в схеме замещения и во всех формулах следует заменить , , , , на , , , , .

Сопротивления и рассчитываются для отрезка системы бесконечной длины, как указывалось выше, в зависимости от режима нагрева.

Для определения параметров элементов схемы (рис. 1.9, б) воспользуемся связью между магнитными сопротивлениями различных участков системы индуктор – нагреваемый цилиндр (рис. 1.9, а) и параметрами элементов схемы (рис. 1.9) [1, 3]:

где — комплексное магнитное сопротивление участка, — комплексное значение тока индуктора, — комплексное значение магнитного потока участка, — комплексное электрическое сопротивление элемента схемы (рис. 1.9, б), обязанная магнитному потоку соответствующего участка.

Комплексное магнитное сопротивление можно представить в виде суммы вещественной и мнимой частей, если подставить в последнюю формулу выражение для комплексного сопротивления:

В случае, если активное сопротивление отсутствует, выражение для упрощается:

Для определения (рис. 1.9, б) необходимо найти магнитное сопротивление обратного замыкания , обусловленное участками I и II (рис. 1.9, а) соответственно внутри и вне индуктора:

где — магнитное сопротивление участка внутри индуктора, но за пределами нагреваемого объекта; — магнитное сопротивление участка пути обратного замыкания магнитного потока вне индуктора.

Составляющую полного магнитного сопротивления можно определить из соотношений:

где — реактивное сопротивление условного соленоида длиной ; — реактивное сопротивление отрезка пустого индуктора бесконечной длины; — площадь окна индуктора (для цилиндрического индуктора ).

Таким образом, имеем:

Вычисленное по формуле магнитное сопротивление участка I несколько меньше действительного, так как вследствие поверхностного эффекта магнитный поток концентрируется вблизи поверхности нагреваемого объекта. Однако неравномерность в распределении магнитного потока наблюдается лишь на сравнительно коротком участке вблизи торца объекта и, как показывают эксперименты, мало сказываются на окончательном результате.

При вычислении магнитного сопротивления участка II, расположенного вне индуктора, будем исходить из аналогии магнитных полей пустого и загруженного индукторов.

Полное магнитное сопротивление короткого пустого индуктора с любой формой поперечного сечения легко определяется из выражения его реактивного сопротивления:

Рис. 1.10. Поправочный коэффициент для вычисления индуктивности соленоида с круглым поперечным сечением: 1 —

, 2 —

где — поправочный коэффициент (рис. 1.10 , табл. П.8), учитывающий магнитное сопротивление обратного замыкания; это известный коэффициент Нагаока [1] для цилиндрического индуктора или подобный ему при другой форме поперечного сечения; — реактивное сопротивление отрезка индуктора бесконечной длины.

Для получения из полного магнитного сопротивления необходимо вычесть магнитное сопротивление участка внутри пустого индуктора (т.к. рассматривается пустой индуктор, то ).

Основываясь на высказанном ранее допущении о равномерности поля внутри индуктора, найдем магнитное сопротивление пустого индуктора длиной в предположении, что поле внутри индуктора равномерно и за пределами — отсутствует (отрезок бесконечно длинного индуктора):

А затем магнитное сопротивление участка пути обратного замыкания магнитного потока вне индуктора:

Отсюда, подставляя и в , получим магнитное сопротивление участка внутри индуктора, где нет заготовки, и вне индуктора:

и тогда:

В важном частном случае равенства длины индуктора и нагреваемого объекта ( ) имеем:

Допущение о равномерности поля внутри короткого индуктора приводит к преуменьшению и, следовательно, к преувеличению , что в окончательном результате для в известной мере компенсирует ошибку в вычислении , о которой упоминалось раньше.

Эквивалентные активное и индуктивное сопротивление короткого индуктора с заготовкой:

где и — эквивалентные активное и реактивное сопротивления индуктора; — активное сопротивление провода индуктора; — индуктивное сопротивление, определяемое потоком рассеяния; и — активное и реактивное сопротивления вторичной цепи, приведенные к току индуктора.

Полное приведенное сопротивление нагреваемого тела [1]:

Для вывода выражения определим значение из уравнений Кирхгофа для схемы на рис. 1.9, б:

и .

Тогда:

и .

После этого определим ток индуктора как сумму токов элементов схемы и :

После этого, поделив на ток индуктора из выражения , получим выражение .

Разделяя действительную и мнимую части, имеем [1, 3]:

Содержащийся в формулах – коэффициент будем в дальнейшем называть коэффициентом приведения активного и индуктивного сопротивлений детали к току индуктора (с учетом краевых эффектов системы индуктор–деталь реальной длины ( > 0,1)).

Так как мощность в нагреваемом объекте , то при имеем:

После этого определим эквивалентные активное и реактивное сопротивления индуктора:

где и — определяются по следующей формуле:

и — определяются: в случае цилиндра из немагнитного материала (однослойной среды) по формулам и соответственно, а в случае цилиндра из ферромагнитного материала, на поверхности которого слой глубиной имеет температуру выше точки магнитных превращений — по формулам и , при и определяются по формулам и ; — реактивность рассеяния, находится по формуле ; — определяется по формуле .

Часто необходимо нагреть участок поверхности детали (цилиндра или пластины), длина которой больше длины индуктора. В этом случае можно считать, что , так как индуктированный ток концентрируется под индуктором. При этом, однако, в определение вносится некоторая условность.