Парабола

Жазытықтың бiр F нүктесi мен l түзуiнен қашықтықтығы теңдей болатын нүктелердiң жиынтығын парабола дейдi.

F нүкте параболаның фокусы, l түзуi директрисасы делiнедi, ол екеуiнiң ара қашықтығы Р параболаның параметрi делiнедi. Егер де F пен l-дiң қақ ортасын тiк бұрышты координаталар жүйесiнiң басы, ал F-тен l-ге түсiрiлген

перпендикуляр түзудi абсцисса осi үшін (34-сызба) алса, параболаның ол жүйедегi теңдеуi: y²=2px (1) болады

Параболаның кез келген нүктесiнен фокусқа дейiнгi қашықтығының (r), директрисаға дейiнгi қашықтығына (a) қатынасы тұрақты және 1-ге тең болады. Оны параболаның эксцентриситетi дейдi: =1.

Параболаның М(х₀, у₀) нүктесiнен жүргқзқлген жанамасының теңдеуi: (2) болады. Параболаның k бағыттағы хордаларына түйiндес диаметрiнiң теңдеуi: (3)болады, демек парабола диаметрi Ох оське параллель болады. Параболаның поляр координатасындағы теңдеуi:

, =1 (4) болады. Бұл кезде q=p болады.

1-мысал. Төбесi А(-2, 1) болатын, симметрия осiнiң бағыты Оу осiнiң бағытына қарама-қарсы болатын, ал параметрi 3х²+4у²-48=0 эллипстегi директрисаларының арасына тең болатын параболаның теңдеуiн құрыңдар.

Шешуi. Есеп шарты бойынша оның сызбасы 35-сызбадағыдай болады. Эллипс теңдеуiн түрлендiрсек:

болады. Демек а=4, в=2 , с=2. Ал, директриса теңдеуi:

болатындықтан директрисалардың ара қашықтығы 16-ға тең болады, р=16.

Сонда төбесi А нүкте, параметрi р болатын парабола теңдеуi:

(х+2)²=-32(у-1) болады.

2-мысал. у²=8х параболаның диаметрiнiң теңдеуiн табыңдар, егер ол өзiмен 45⁰ бұрыш жасайтын хордамен түйіндес болатын болса.

Шешуi. у²=8х түрдегi теңдеумен берiлген параболаның диаметрi әр уақытта абсцисса осiне параллель болады. Сондықтан есептi келтiрiлген хорданың бұрыштық коэффициентi k=±tg45⁰=±1 болады. Ал, параболаның k бағытты хордаларға түйiндес диаметрiнiң теңдеуi: болады. Есепте 2р=8, р=у. Сондықтан iздеген диаметр теңдеуi: , у±4=0 болады.

3-мысал. у²=6х параболаның (4,1) нүктедегi қақ бөлiнетiн хордасының теңдеуiн анықтаңдар.

Шешуi.lздеген хорда теңдеуi у-1= k (х-4) болар едi. Ал, Бұл хордаға түйқндес диаметр теңдеуi болады. Ал Бұл диаметр (4,1) нүктеден өтетiндiктен болады. Бұдан k =3. Сонда хорда теңдеуi у-1=3(х-4), 3х-у-11=0 болады.

4-мысал. Параболаның поляр координатағы теңдеуi болса, оның канондық теңдеуi қандай болады?

Шешуi. Теңдеудiң оң жағындағы бөлшектiң алымын да, бөлiмiн де 5-ке бөлсек болады, ал р=0,6. Сондықтан параболаның теңдеуi:

у²=2×0,6×х=1,2х болады.

Қайталауға арналған сұрақтар.

1.Парабола деген не? Оның канондық теңдеуi, поляр координатасындағы теңдеуi қандай болады? Олар арасындағы қандай байланыс бар?

2.Параболаның параметрi деген не?

3.Параболаның жанамасының теңдеуi қандай болады?

4.Параболаның диаметрi деген не? Оның теңдеуi қандай?

5.Параболаның эксцентриситетi деген не, ол неге тең?

6.Параболаны қалай салады?

7.Екiншi реттi сызықтың жалпы теңдеуiнен параболаны анықтау үшқн оның коэффициенттерi қандай болу керек?

Жаттығу есептерi.

490.Параболаның симметрия осi абсцисса осiмен, төбесi координаталар басымен беттеседi. Осы параболаның канондық теңдеуiн құрыңдар егер:

1)Оның параметрi 3-ке тең болса, 2)Оның фокусының төбесiнен қашықтығы 6-ға тең болса, 3)М(16,-8) нүкте параболада жатса, 4)Фокусы F(3,0) болса, 5)Директрисаның теңдеуi х+5=0 болса, 6)Фокус пен директриса арасы 9-ға тең болса.

491.Симметрия осi ордината осiмен, төбесi координаталар басы болатын пара-боланың канондық теңдеуiн құру керек, егер: 1)Оның директрисасының теңдеуi у-3=0 болса, 2)Парабола М(4,-8) нүктеден өтетiн болса, 3)F(0,2) фокусы болса, 4)Фокус пен директриса арасы 7-ге тең болса, 5)Фокус пен төбесiнiң арасы 4-ке тең болса, 6)Оның параметрi 4-ке тең болса.

492.Параболаның фокусын табыңдар: у²=4х, 2) у²=-8х, 3) х²=12у, 4) х²=-8у

493.Параболаның: 1) у²=6х, 2) у²=-12х, 3) х²=4у, 4) х²=-8у директрисасының теңдеуiн табыңыздар.

494.у²=48х параболаның фокусын және директрисасының теңдеуiн табыңыздар.

495.у²=24х параболаның бойында жататын, абсциссасы 6-ға тең болатын нүктелердiң фокустық радиусын табыңыздар.

496.у²=12х параболаның бойында жататын ординатасы 6-ға тең болатын нүктелердiң фокустық радиусын тбыңыздар.

497.1)у²=8х парабола бойынан фокустық радиусы 20-ға тең болатын;

2)у²=16х парабола бойынан фокустық радиусы 13-ке те;

3)х²=-12у парабола бойынан фокустық радиусы 9-ға тең болатын нүктенi табыңыздар.

498.у²=18х параболаның мына түзулермен: 1)6х+у-6=0, 2) 9х-2у+2=0, 3) 4х-у+5=0, 4) у-3=0 қиылысу нүктелерiн табыңыздар.

499.у²=12х парабола мен эллипстiң қиылысу нүктелерiн табыңыз.

500.у²=3х парабола мен х²-4у²=20 гиперболаның қиылысу нүктелсiн табыңыз.

501.у²=4х және х²=32у параболалардың қиылысу нүктелерiн табыңыздар.

502.у²=4х параболаның М(3,1) нүктеде, у²=8х параболаның М(4,2) нүктеде қақ бөлiнетiн хордаларының теңдеулерiн анықтаңыздар.

503.у²=16х параболаның М(6,6) нүктеде қақ бөлiнетiн хордасының ұзындығын табыңыздар.

504.у²=18х парабола мен (х+6)²+у²=100 шеңбердiң ортақ хордасының теңдеуiн құрыңыздар.

505.у²=2рх параболаның фокусынан осiне перпендикуляр хорда жүргізілген. Сол хорданың ұзындығын табыңыздар.

506.у²=4х параболаға М(9,6) нүктеден жүргқзқлген жанаманың теңдеуiн анықтаңыздар.

507.у²=8х параболаға М(5,-7) нүктеден жүргізілген жанаманың теңдеуi қандай болады?

508.у²=12х параболаға: 1)абсциссасы 3-ке тең нүктеден, 2)3х-у+5=0 түзуге параллель болатын, 3)2х+у-7=0 түзуге перпендикуляр болатын, 4)4х-2у+9=0 түзуiмен бұрыш жасайтын жанаманың теңдеуiн құрыңыздар.

509.у²=5х параболаның бұрыштық коэффициенттерi: , 2) к₂=-3, 3) к₃=1

болатын жанамаларының теңдеуiн құрыңыздар.

510.у²=4х параболаға х+3у+9=0 түзуi жанама. Жанасу нүктесiн табыңыздар.

511.у²=2рх параболаның жанамасы х-3у+9=0 болса, теңдеуi қандай болады?

512.у²=2рх параболаға Ах+Ву+С=0 түзуiнiң жанама болу шарты қандай?

513.у²=2рх параболаға у=кх+m түзуiнiң жанама болу шарты қандай?

514.у²=4х парабола мен эллипске ортақ жанаманың теңдеуiн құрыңыздар.

515.у²=12х параболаға 3х-2у+30=0 түзуiне параллель жанама жүргқзқп ол жанама мен түзу арасын табыңыздар.

516.у²=64х параболаның бойынан 4х+3у-14=0 түзуiне ең жақын нүктенi табыңыздар.

517.у²=64х парабола мен 4х+3у+46=0 түзуiне ең қысқа қашықтықты табыңыздар.

518.Параболаның төбесiнiң координаталарын, параметрiн және осiнiң бағытын анықтаңыздар: 1) у²-10х-2у-19=0 2) у²-6х+14у+49=0 3) у²+8х-16=0

519.Параболаның: 1) х²-6х-4у+29=0; 2)у=Ах+Ву+С; 3) у=х²-8х+15; 4)у=х²+6 төбесiнiң координаталарын, параметрiн, осiнiң бағытын табыңыздар.

520.Төбесi А(а,в), параметрi Р, симметрия осiнiң бағыты: 1) Ох осiнiң оң бағытындай, 2) Ох осiнiң бағытын керi, 3) Оу осiнiң он бағытындай, 4) Оу осiнiң бағытына керi болатын параболаның теңдеуiн құрыңыздар.

521.у²=2рх параболаның кез келген жанамасы Ох осiнiң оң бағытына керi жағынан жанасу нүктесiнiң абсциссасына, Оу осiнiң жанасу нүктесiнiң ординатасының жартысына тең кесiндi қиатынын дәлелдеңдер.

522.у²=2рх параболаға iштей сызылған дұрыс үшбұрыштың қабырғасының ұзындығын табыңдар.

523.у²=2рх параболаның фокусынан осiне перпендикуляр етiп жүргқзқлген хорданың ұзындығын табыңдар.

524.Параболаның фокусынан өтетiн хордалардың қақ орталарының жиыны не болады.

525.Мына теңдеумен қандай сызық берiлген: 1) , 2) ,

3) , 4) , 5) , 6) .

526.Поляр координатасында берiлген параболаның: 1) ,

2) , 3) канондық теңдеулерiн табыңдар.

527.Параболаның канондық теңдеуi берiлген: 1)у²=2х, 2)у²=10х, 3) у²=-6х.

Оның поляр координатасындағы теңдеуiн табыңдар.

528. парабола бойынан поляр радиусы ең кiшi болатын нүктенi табыңдар.

529. парабола бойынан поляр радиусы параболаның параметрiне тең болатын нүктенi табыңдар.

Жаттығу есептерiнiң жауаптары және оларға нұсқаулар.

1тарау.§1.1. 1) немесе ; 2) . 2. Нұсқау. Векторларды қосудың үшбұрыш әдiсiн пайдаланыңыздар. 3. мен коллинеар болу керек.4. 1) 12 вектор: әр қабырға мен әр диагональ әр түрлі екi вектордан анықтайды. 2) 8 вектор: қарама-қарсы қабырғалар 4 коллинеар вектордан анықтайды. 3) 8 вектор: , 5. Нұсқау. мен вектор салынған деп алыңдар. 7. 1) , 2) , 3) 8. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 9. 1) 2) 3) ^ 4) ( , )< 5) ( , )> 10. 1) 2) 3) 4) 5) 12. , , , , 14. 15. Мүмкін. Егер де -да АК ең кiшi қабырға болса, онда болатын векторлармен шартты қанағаттандырады. 16. 17. Диагональдарының қиылысу нүктесi18. 20. 1), 3), 4) коллинеар, 2)- коллинеар емес 21. 22, 22. 2023. 24.

25.

§2.26.

27.

28.

29.

Нұсқау: ол дан 30. N 29 есепке қара.

31.

32.

33.

34. 1) 35. 2) 36.

37. 1) 2) 3) 38. 1) 2) 3) 39. 1)Сызықтық тәуелсiз 2)тәуелдi, 3) сызықтық тәуелдi, коллинеар. Жiктелмейдi.

40. -ге , -ге , -ке -коллинеар. 41. мен -ге , ; мен -ке , ; мен -ке , -коллинеар болады. 42. a=4; b=-1. 43. Қарама-карсы бағытталған.

44. 1) 2) 3)

45. 1) 2) 3)

46. а) мен в)-компланар, б)компланар емес. 48. m₁=2, m₂=3, m₃=5, m₄=1.

49. ; ; Нұсқау: -ны базис бойынша жiктеп жазып, оны -ға қарай шешу керек.

50. ; ;

§3.51. 1)дұрыс емес, 2),4),5)-дұрыс 3) коллинеар болса дұрыс

52. 1),2),3) дұрыс емес, 4) болса дұрыс; 5),6) дұрыс, 7) коллинеар векторлар үшін дұрыс. 53. 1),2),4) дұрыс, 3) болса дұрыс, 5)дұрыс емес

56. =-5 57. коллинеар болғанда.58. =22, =42, , , 59. . =2- , =0, , , , 60. 1)20, 2) , 3)6 61.1)18, 2)-8, 3)0

62. ж/е 63.±3 64.Нұсқау -ны табу керек. 65.1) , 2) , 3)j=0 66.30⁰, 60⁰ және 90⁰ 67.14 кв. өлшем.

68.1)716, 2)-721, 3)-353 69.1) 2)280 3){115,242,137} 70. –4.71. 5.

72. ; ; . 73. 60⁰ немесе 120⁰. 74.a=-6. 75.

§4.76. 1)-2[ ] 2)0 3)[ ] 77. 1)[ ]+[ ] 2) [ ]+[ ]+2[ ] 3) [ ] 80. 1)болады, 2)болмайды 81. болу керек 83. 1),2) дұрыс емес, 3) тек болса дұрыс болады. 84. а²в² 85.II кв өлшем. 86. 75 кв өлшем. 87.30. 88. 16 89. 90. 1) 24; 2) 60. 91. 1) 2) 3) 92. 1) 2) 3) 93. 1) 2) 3) 94. 95. 1) 2) 96.

97. 98. Нұсқау ауданын табу керек 99.

100.

§5105. 1) 2) 106. 107.

108. 109. V=5 110. 111. 1) компланар; 2),3) компланар емес 112. 1),3) компланар, 2) компланар емес 113. V=0

114. 1) –29 2) 68 115. 1) 19 2) 25 116. 1) компланар 2) компланар емес

117. 1) компланар емес 2) компланар 118. 1) 2)

119. 1) V=8/3 2) S_ABC=4; S_ABD=2 ; S_ACD=5; S_ACD= ;3) h=2.

120. 1) V=12 2) S_ABCD=2 ; S_ABBA= ; S_ADDA= ; 3) h=6/ .

II тарау.§1123. А¹(-2,-1), В¹(3,5), С¹(2,-4), Д¹(-2,1), Е¹(0,-3); 124. 1) А_х(-3,0), В_х(3,0), С_х(2,0), Д_х(-6,0), Е_х(0,0); 2) А_у(0,2), В_у(0,-1), С_у(0,4), Д_у(0,2), Е_у(0,6)

125.1) А¹(3,-4), В¹(-2,-3), С¹(-1,2), Д¹(1,3), Е¹(m,-n); 2) А¹(-3,4), В¹(2,3), С¹(1,-2), Д¹(-1,-3), Е¹(-m,n); 126.2)

127.1)

128. ; 129.1),3)-жатады, 2) жатпайды

132. бар; 133.

134.137 кв өлшем немесе 63,5 кв өлшем ;

135. 1)

136. 2)

137. 1) Тең бүйірлi, S=29 кв өлшем 2) Тең бүйірлi, S=29 кв өлшем

3) Тең бүйірлi, S= кв өлшем

138. S=7,5 кв өлшем ; 139. С(5,0); 140.

141.

142. h=13; 143. d=5; 144. ; 145. . Нұсқау. Төртбұрышты екi үшбұрышқа бұрыш, олармен ауырлық центiрiмен ауданын табу керек. Үшбұрыштар массасын (ол ауданына пропорционал болады) ауырлық центрге шоғырландырып, екi материалдың нүктесiнiң ауырлық центрiн табу керек.

§2149. Центрi жататын шеңбер бойында жатады. 150. түзу бойында жатады

151.

152. . 153.1),2) шеңбер бой-ында жатады; 3),4) жарты түзуде жатады. 154. 1) шеңбер 2) жарты түзу бойында жатады. 155. . 156. Тең бүйірлi үшбұрыш АВ=AC=7. 158. кв өлшем.

159.

160. 161. В(1,0) және С(7,0)

162. Нұсқау. Үшбұрыштың ауданын табу үшін формуласын пайдаланыңдар 163. S=1 кв өлшем

164. кв өлшем 165. кв өлшем

§3166. 1) х=х¹+3 2) х=х¹+3 3) х=х¹-2

у=у¹+4 у=у¹-2 у=у¹+1

167. 1) 2) 3)

168. 1) 2)

3) 169. 1) А(0,9) 2) А(-6,1) 3) А(-5,4)

170. 1) А(4,-3);2) В(1,-5); 3) С(6,-1); 171. 1) О¹(3,6) 2) О¹(2,-3) 3) О¹(0,2)

172. 1) 2) x=y¹, y=x¹ 3)x=-x¹, y=-y¹

173. 1)

174. 175.

176. 177. А(6,5), В(5,3), С(23,-6)

179. 1)

2) 180.А(-4,19), В(5,-1), С(7,9) 181.

III Тарау. §1-1.182.1)Ордината осi; 2) абсцисса осi; 3) Координаталар остерiнiң жинағы; 4) екiншi мен төртiншi координаталар бұрышының биссектрисасы; 5) бiрiншi мен үшіншi координаталар бұрышының биссектрисасы. 183. 1) Координаталары (0,0) нүкте; 2) Координаталар бұрышының биссектрисаларының жинағы; 3) шеңбер; 4) ордината осi мен бiрiншi және үшіншi координаталар бұрышы биссектрисасының жинағы; 5) ешқандай сызықты анықтамайды. 184. А мен С нүктелерi жатады. В жатпайды.185.3),5),6) өтедi;1),2),4) өтпейдi. 186. А(4,0), В(-3,±Ö7); С(0; ±4). 189. 1) А(3,0), у осiмен қиылыспайды; 2) В(0,-4), х осiмен қиылыспайды; 3) А(-3,0), В(0,2); 4) А(±2,0), В(0,±2), 5) А(-1,0), В(0,±Ö2), 6) екi осiнен де қиылыспайды. 190. 1)(2,2), (-2, -2); 2)(1,-1),(9,-9); 3)(3,-4),(1,4; -4,8); 4) қиылыспайды. 192. 1) Центрi полюсте жататын z=4 радиусты шеңбер. 2) жарты түзу; 3) полюстен 1-ге тең қашықтықта поля осiне перпендикуляр болып өтетiн түзу; 4) поляр осiне параллель және оған 3-ке тең қашықтықта орналасқан екi түзу жинағы. 196. 1) Оу осiне параллель болатын және сәйкесiнше (2,0), (-2,0) нүктелерден өтетiн қос түзу; 2) координаталар бұрыштарының биссектрисалары; 3) координаталар басынан шығатын және бiрi (1,0) нүктеден, екiншiсi (1,2) нүктеден өтетiн сәулелер. 197. Нұсқау. Алдымен әр теңсiздiк анықтайтын облысты тауып, содан соң олардың қимасын анықтау керек. 198.Төбесi (-а,0), (0,а), (а,0), (0,-а) болатын квадраттың контуры. Нұсқау. Теңдеудi әр ширекте жеке-жеке қарастыру керек. 199.1),2) әр түрлі нүктелер жиынын анықтайды 3) екеуi де бiр жиынды анықтайды. 200. 1) Оу осiне параллель екi түзу 2) қос түзу, оның бiрi Ох, екiншiсi Оу осiне параллель; 3) нүкте; 4(бос жиын).201.1) х-3у+15=0 түзу 2) х=2у²-24у-71 парабола 3) х²+у²=а² шеңбер 4) эллипс.

§1-2.202. х+у=0 және х-у=0 координаталар бұрыштарының биссектрисалары.

203.у-в=0, абсцисса осiне параллель түзу. 204. х-а=0, ордината осiне параллель түзу. 205. х²+у²=5, центрi координаталар басы болатын, радиусы Ö5-ке тең шеңбер. 206. х²+у²=16 шеңбер, центрi О(0,0), радиусы z=4. 207. ±х±у=8. Төбелерi (±8,0), (0±8) болатын квадраттың бойында жататын нүктелер. 208. 1) х-у-2=0 2) 2х+3у+8= түзулер. 209. х²+у²=4, шеңбер.210. (х-3)²+(у-1)²=9, шеңбер.211. х-у-4=0 түзу. 212. 1)16х²+25у²=400, эллипс; 2) эллипс.213. 1)16х²-9у²=144, гипербола; 2) гипербола. 214. 1) 6у-х=0, 2) у=2х+6, 3)х²+у²-а²=0

215. 1) у²=12х, парабола; 2) у²=20 х, парабола.216. 2х-3у=0 246. х²+у²=а². Нұсқау. Ортақ қабырғаны абсцисса осi, ол қабырғаның ортасын координаталар басы үшін алу керек. 218. х²+у²+2х-6у-10=0 219. 9х²+25у²=225, эллипс. 220. 9х²-16у²=144, гипербола. 221. 16х²+25у²=400, эллипс. 222. , . 223. 1) , y=t. 2)x=2pctg²a, y=2pctga.

224. 1)x²-y²=0 2) 3)x²+y²-2Rx=0 225. 226. r cosj-5=0

227. r sinj-0,5=0, rsinj+0,5=0 228. r-10sinj=0, r+10sinj=0 229. r-3cosj=0 230.1) , 2) r sinj+5=0, 3)r=4, 4) r²sin2j=20 231. 1)x²+y²=25, 2) , 3)y=x, 4)x=2

IV-тарау. §1-1.232. 1)k=3; 2)k=-2; 3)k . 233. 1)k ; 2)k ; 3)k . 234.1)y=x;2)y x;3)y=-x. 235.1)y=5х+3; 2)у=5х-3 236.1)у=2х+5; 2)у=-2х+5; 237.1)к=3, в=4; 2)к=-2, в=5; 3) , в=-5; 4) k , в ; 5) k , в=2; 238.А,С,D нүктелер жатады, В,Е- жатпайды. 239.1) , (2,0), , (-3;-7,5); (-1;-4,5); 2) (2,0), (0,-3), ;(6,6);(-2,-6)

241.1) ; 2)0; 3) 4) 242.1) к=2 2) k ; 243.1)у=-3х немесе, ; 2)у=-(2+ )х немесе у=-(2- )х 3) 4)

244.1)М(-3,-8); 2)М(6,-3); 3)М(-2,4); 245.1)2х-у-10=0; 2)х-3у-15=0; 3)3х+у-5=0

246.1)3х-у-5=0; 2)3х-у-13=0; 3)3х-у+6=0; 4)3х-у+5=0; 5)3х-у-12=0 6)3х+у+1=0; 247. 1)5х-у+20=0 2)х-2у+13=0 3)2х+у+1=0; 248.1)3х-2у+7=0 2)4х-5у+6=0 3)2х+у-4=0; 250.1)к=3/2, в=6 2)к=-2/5, в=2 3)к=2, в=-4 4)к=1/2, в=0 5)к=0, в=-4; 251. 4х-5у-2=0

§1-2.252.1)х-у=0 2)5х-у-11=0 3)х-5у+12=0 4)2х+3у+11=0; 253.к=-5, в=2

254.1) 2) 3) 4) ; 255.5х+у-11=0

2)х-5у+3=0; 256.1),2) түзу М нүктеден өтедi, 3)координаталар басынан өтедi.

257.А(3,0), В(0,-2); 258.1) (2,3); 2) (0,-2); 3) (1,-1); 4) қиылыспайды. 259.(2,-1); (-1,3); (2,4). 260.1)p/4; 2) p/2; 3)j=0; 4) 261. 1)3х-4у+12=0, 4х+3у+16=0, 2х-у-2=0 2)7х-у+3=0, 3)х+7у+4=0, 4)3х-4у+12=0

262.3х-5у+5=0; х-у=0; у-1=0. 263. 1)а=4, в=6 2)а=-5, в=2 3)а=2, в=4 4)а=в=0 5)а=в=0 6)а=6, в=2. 264.1)х-у-2=0 2)х+3у-3=0. 265. х+у-5=0. 266.х+6у-12=0. 267.S=q кв. өлшем. 268.1)жатпайды, 2),3) жатпайды. 269.1) (5,6)нүктеде қиылыспайды; 2),4)-параллель; 3) қиылыспайды; 5) нүктеде қиылыспайды.270.1)қиылысады, 2),3)-қиылыспайды.271.3а+7в+3=0

§1-3.272.1),4),5),6)- нормаль теңдеулер. 273.1) 2) ; 3) 4) 5) 6)0,6х+0,8у-1,5=0 274.1)р=3, j=arcsin 2)р=4, 275. 1)d=0, 2) d=4, 3) d=2, 4) d=1,5; 5) d=4. 276.d ₁=2,6; d₂=2; d₃=2,2; d₄=2,4; d₅=0. 277.h₁=78, h₂=271, h₃=70. 278.h_а= , h_в= , h_с= 279.1),4) жатпайды; 2),3),5) жатады. 282. Дөңес болады. 283.(-12,5). 284.А¢(10,5), 285.А¢(4,3), 286. (1,8), 287.(2,-1) 288.4х+у+5=0 немесе у-3=0 289.1)2х-4у-9=0 немесе 4х+2у-11=0 2)7х-7у+5=0, 3х+3у-7=0, 290. 6х-10у+17=0, 291.х-4у+18=0

§1-4.292. 1)4х-у=0, 2)17х-40у+52=0. 293.1)6х-11=0, 2)3х+4=0.294.1)2х-у-5=0, 2)х+у-4=0. 295. 1)9х+9у-46=0 2)9х-9у-10=0. 296. 4х-5у+22=0, 4х+у-18=0, 2х-у+1=0. 297.х+2у-7=0, 5х+4у+7=0, х-4у-13=0. 300. 4х-2у+1=0. 301.3х+2у-18=0. 303.6х-5у=0.304. 5х-у-5=0 (ВС), х-у+3=0 (АС),3х-у-1=0 (СС₁)

305.х-5у+13=0, 5х+у+13=0. 306.х-5у-7=0, 5х+у+17=0, 10х+7у-13=0

§1-5. 307.х=-2+5t, y=3-t 2)x=3t, y=-2-2t 3)x=t, y=-3. 308.1) 2)М₁(11,-1), М₂(-1,2), М₃(-9,4), М₄(5,3) 3)t₁=1/4 t₂=2 4)А₂,А₃,А₄ түзуде жатады, А₁ мен А₅ жатпайды. 309.1)х=-2t, y=-1+3t 2)x=2-t, y=1+t 3)x=-5/2, y=t 4)x=1-5t, y=-2+4t 5)x=-3t, y=t. 310.1)х+3у-10=0 2)у-2=0 3)3х-у-15=0

312.v=5. 313.х=-3-5t, y=2+4t.314.x=3-3t, y=5t. 315.x=-3- t y=t-3

316. x=5t-2, y=-t+3

§1-6.317.r=p sec(j-a). 318.r sin(g-j)=a sing.

319.r=sin(b-j)=r₀ sin(b-j₀).320.r=cos(j-a₀)=r₀ cos(j₀-a₀).

321. . 322.j=p/6. 323. 324. r=sinj=1. 325. 326.

§2. 327.х=0, у=0, z=0 328. -3=0, y+2=0, z-4=0. 329.x+y-z+1=0, x+4y+7z+16=0, 9x-y+7z-40=0. 330.6x+2y-5z+5=0, 8x+5y+4z-54=0, x+y+3z-7=0

331.z-3y=0, z-3x=0, 2x-y=0. 332.5x-9y-17z+20=0, x+y-4z+9=0, x+2y+z-9=0

333. x+y+z-1=0. 334.6x+4y+3z-12=0, 6x-3y+2z-6=0, 3x-2y-z+6=0

335. x+y+z-4=0, 336. 3x+4y+6z-12=0 337. x-2y+3z+3=0 338. x+2y-4z-12=0

339. x-y-3z+2=0 340. x=2-5u+4v, y=3+6u-2v, z=-5+4u

341. x-4y-z+16=0, 342. x+5y-z+5=0 343. А,С жазықтықта жатады, В,D жатпайды. 344.{2,5,-3}, {1,-3,1},{2,1,0},{1,0,-3},{0,2,3},{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1} 345.1),4),5) нормаль теңдеулер 346.1) 2) 3) 4) 5) 347. 1),3) параллель.

348.1),3) перпендикуляр 349.1)d₁=3/2 2)d₂=0 3)d₃=4 350.1)d=-3, d=3,

2) d=d=1 3) d=-2, d=2 351.1) d=2, 2) d=3,5 3) d=6,5 4) d=1 352.1)j=arccos 0,7 2)j=90⁰ 3)j=0 4)j=p/3 353. , ,

354.1)a=60⁰, b=45⁰, g=60⁰, p=5 2)a=120⁰, b=60⁰, g=45⁰, p=8 3)180⁰, 90⁰, 90⁰, 4) ; ; 355.h=3

356.x+2y-6z+3=0, 4x+y+z-1=0 357.1) болмайды 2) болады

358. 1)(3,-1,0); 2)қиылыспайды 3)үшжазықтық бiр түзу бойымен қиылысады.

359.

360.1)Сыбайласта 2)бiр бұрышта 3)вертикаль бұрышта жатады.

361.1)5y-13z-60=0 2)13x-3y+10=0 362. 3x+5y-4z-3=0 363.3x+4y-z+1=0,

x-2y-5z+3=0 364. x+3y=0 3x-y=0 365. x+20y+7z-12=0

366.1)(3,5,7) нүктеде қиылысады 2) Қос-қостан параллель; 3) бiр түзуден өтедi 367.1) Қос-қостан қиылысады және қиылысу сызығы үшіншi жазықтыққа параллель болады. 2),3) екеуi параллель, үшіншi оларды қияды.

370. 1) 2) және B= матрицалардың рангы 2-ге тең болады 3)Ранг r_A=1, r_B=2 болуы керек.

371. 1)Ранг r_A=2, r_B=3 және матрицалардың рангi 2-ге тең болуы керек.

2)Ранг r_A=2, r_B=3 болуы және матрицалардың бiрiншi рангi 1-ге тең болуы керек. 3) Сәйкес коэффициенттер пропорционал болуы керек.

372. 1)10x-7z=0 2)6y-7=0 3) 39x-29y-7z=0

373. 374.

375. 1)2y-z=0 2)y-3=0 3)3x-y=0

V Тарау. §1.376. 1)x²+y²=16 2)(x-1)²+(y+2)²=9 3)(x-3)²+(y+4)²=25 4)(x+1)²+(y-3)²=5, 377. 1) 2)x²+(y-1)²=10 3)(x-3)²+(y-5)²=25

378. 1)C(3,0), r=3; 2)C(-3,4), r=5; 3)C(5,-12), r=15; 4)C(-1,2/3), r=4/3

379. 1)х²+у²+6х+4у-12=0; 2)х²+у²+7х-5у-44=0; 3) шеңбер жүргiзуге болмайды.380. Р шеңберден тыс, R,S- шеңбер бойында, Q-шеңбер iшiнде жатады.381. 1),2)-шеңбердi қияды, 3) шеңберге жанасады, 4)шеңберден тыс орналасқан. 382. 1)А(3,-1), В(2,-2); 2)(-4,6) нүктеде жанасады; 3)қиылыспайды. 383. 4х-2у-9=0 384..(х-6)²+(у-5)²=25 385. (х-2)²+(у+3)²=4 және (х+2)²+(у+3)²=4 386.(х-17)²+(у-17)²=289 (х-5)²+(у-5)²=25; 387.13(х+4)²+13(у-15)²=784 388. (х-5)²+ +(у+2)²=20 және 389. х-2у-5=0 390. 4х+3у-35=0 391.2х-3у+9=0 392.20х-21у=0. у=0. 393.1) 2) 3) 394. 2х-5у+19=0 395. 4х-у=0, 396. х-у+1=0 397. 1)х+2у+2=0 2)5х+2у-7=0 398.1)d₁=7 2)d₂=17 3)d₃=2, 399.1)Қиылыспайды; 2)А(2,5), В(2,-3). 400.1)А(3/2,-1), В ; 2)А(-1,-1) нүктеде жатпайды. 401.1) 2)(х-3,25)²+(у+1,25)²=27,625 402.1)(х+2)²+(у+6)²=8, 2)(х+6,5)²+(у+7)²=1,25; 403. 404. ; 405.1)d₁=3 2)d₂=0 ; 406.1)d₁= (нүкте шеңбер iшiнде жатады),d₄= 407.1)Сыртқы жанама: у-2=0, 4х-3у-1=0; iшкi жанама: х-1=0, 3х+4у-5=0 408.3х-4у+20=0, шеңберлер iштей жанасады. 409.1)r=2Rcosj 2)r=-2Rcosj 410. 1)r=2Rsinj 2)r=-2Rsinj;411.1)(2,0),R=2; 2) , 3)(1,p), R=1 412.1) 2) , 3) . 413.1)х²+у²-3х=0 2)х²+у²+4у=0 540. 414.1)х²+у²-х+у=0 2)х²+у²+3(1- )=0

§2.416.1) 2) 3) 4) 417.1) 2) 3) , 4) 418.1)F₁(3,0), F₂(3,0), E=0,6; 2)F₁(0,12), F₂(0,-12), E= ; 3)F₁( ,0), F₂( ,0), E= 419. 1) 26; 10; ; F₁(12,0), F₂(-12,0); ; 2) 10; 6; F₁(4,0), F₂(-4;0); ; . 420.