Доказательство.

1) Пусть векторы , , Î V³ – компланарны, и пусть = , = , = и точки O,A,B,C лежат в одной плоскости (то есть O Î (ABC)).

Тогда векторы , , можно рассматривать как элементы V², построенные на множестве направленных отрезков плоскости (АВС).

1 случай. Если векторы и коллинеарны, то существуют два числа a, b Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля (a² + b² ≠ 0 ) и a + b = q. Возьмем g = 0, тогда среди чисел a, b, g все равно есть число отличное от нуля a + b + g = (a +b ) + 0 = q + q = q.

2 случай. Если векторы и не коллинеарны, то они образуют базис пространства V² , и существуют два числа a, b Î R такие = a + b . Возьмем g = -1, тогда среди чисел a, b, g есть число отличное от нуля (g = -1) и a + b + g = (a +b ) + (-1) = - = q.

 

РИС. 24 (1, 2)

 

 

2) Пусть существуют три числа a, b, g Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел отлично от нуля (a² + b² + g² ≠ 0 ) и a + b + g = q.

Без ограничения общности пусть g ≠ 0. Тогда вектор можно выразить через векторы и : = - - .

Отложим векторы , , от одной точки O: = , = , = . Покажем, что точки O,A,B и C лежат в одной плоскости.

1 случай. Если векторы и коллинеарны, то вектор так же коллинеарен векторам и (см. необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов). Следовательно, точки O,A,B,C лежат на одной прямой, то есть существует плоскость, которая проходит через все эти точки.

2 случай. Векторы и не коллинеарны. Рассмотрим плоскость (OAB) и векторное пространство V², построенное по направленным отрезкам данной плоскости. Построим направленный отрезок =- - (по правилу параллелограмма для суммы двух векторов). Тогда точки O,A,B,C лежат в одной плоскости и = , следовательно, векторы , , компланарны (по определению).