Вычисление площади плоских фигур в декартовой системе координат.

 

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную прямыми

x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), где f(x) ³ 0.

Как известно, площадь такой криволинейной трапеции выражается через определенный интеграл: S =

 

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e^2x, x=0, x=2, y=0

S= = = .

Замечание: Иногда криволинейную трапецию приходится разбивать на несколько частей. Площадь всей трапеции есть сумма площадей всех частей.

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, xy=1(y=1/x), x=0, x=2, y=0.

Разобьем трапецию на две части S₁ и S₂.

Площадь всей трапеции: S=S₁+S₂= = = = .

В общем случае площадь фигуры, ограниченной слева прямой x=a, справа прямой x=b, сверху кривой y=f₂(x),снизу кривой y=f₁(x), причем f₂(x) ³f₁(x).

В этом случае, неважно, где лежит криволинейная трапеция, выше оси OX или ниже, или часть выше, часть ниже. Самое главное, чтобы выполнялось f₂(x) ³f₁(x).