Теория игр при выборе решения

В практической деятельности нередко изучаются явления и ситуации, в которых участвуют две или более стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия. Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными или просто конфликтами.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими: заинтересованными сторонами, возможными действиями этих сторон, интересами сторон.

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием обстоятельств, часть из которых не оказывает сколько-нибудь существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому, для того чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, необходимо отвлечение от этих второстепенных факторов, что при удачном стечении обстоятельств позволяет построить упрощенную формализованную модель конфликта, которую и принято называть игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается еще и тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Необходимость изучения и анализа конфликтов, представляемых в виде упрощенных математических моделей (игр), вызвала к жизни специальный математический аппарат - теорию игр.

В этой теории используются определенные понятия. Заинтересованные стороны называются игроками. Любое возможное для игрока действие (в рамках заданных правил игры) называется его стратегией. В условиях конфликта каждый игрок выбирает свою стратегию, в результате чего складывается набор стратегий, называемый ситуацией.

Рассмотрим применение теории игр на примере распределения ресурсов в организационной системе. Возьмем простейшую двухуровневую модельную оргсистему, состоящую из Центра и некоторого числа однотипных Элементов. Элементы или Потребители представляют Центру заявки на получение некоторого ресурса. Центр на основании этих заявок распределяет имеющийся в его распоряжении ресурс (который предполагается делимым). В ситуации дефицита суммарный объем заявок превосходит имеющийся в распоряжении Центра ресурс. Можно предложить некоторые способы или механизмы распределения ресурсов, каждый из которых обладает определенными достоинствами и недостатками.

Задачу можно формализовать следующим образом. Имеется n потребителей, каждый из которых сообщает Центру число S_i (i=1,2....,n) - заявку. Центр на основании заявок потребителей, имеющегося в его распоряжении ресурса R и дополнительной информации о Потребителях вычисляет по математическому правилу числа X_i (i=1,2.......,n) - объем ресурса, выделяемый i-му Потребителю.

В случае (отсутствие дефицита) естественным решением Центра является следующее: x₁ = s₁; x₂ = s₂;......., x_n = s_n. В примере будем считать выполненным неравенство , суммарная заявка Потребителя превосходит ресурс Центра.

Потребители формируют свои заявки на основании собственных реальных потребностей R_i, которые им известны, но неизвестны Центру. Можно сказать, что числа S_i являются стратегиями Потребителей как участников иерархической игры. В свою очередь, стратегией Центра являются числа X_i..

Механизм прямых приоритетов

Механизм прямых приоритетов относится к числу так называемых приоритетных. Его отличительной чертой является приписывание каждому потребителю некоторого приоритета. Итак, наряду с размерами заявок S_i (i=1,2....,n) Центр учитывает приоритет каждого Потребителя, который определяется числом А_i (i=1,2,.....n).

В соответствии с механизмом прямых приоритетов распределение ресурса осуществляется по правилу

X_i = min { S_i , A_iS_i}, i=1,2,....,n, где - общий для всех Потребителей параметр - определяется из условия , весь ресурс распределяется без остатка. Из данного условия получаем .

Достоинства механизма прямых приоритетов очевидны, но имеются и недостатки.

Во-первых, каждый Потребитель получает меньше, чем просит. Между тем ресурсы могут быть необходимы Потребителю на осуществление какого-либо проекта.

Во-вторых, данный механизм “толкает” потребителей к завышению заявок в условиях дефицита. Действительно, поскольку чем больше Потребитель просит, тем больше он получает, он может, завышая свои потребности, попытаться приблизить итоговое решение Центра X_i к своим реальным потребностям r_i. Тем самым дефицит еще более возрастает, причем Центр даже не имеет возможности узнать реальные запросы потребителей, так как они завышают свои заявки.

Механизм обратных приоритетов

Механизм обратных приоритетов основывается на предположении, что чем меньше требуется потребителю ресурса, тем выше эффективность его использования. В соответствии с этим распределение ресурса осуществляется по правилу , где i = 1,2,...,n; число определяется, как и в механизме прямых приоритетов, из условия .

Из формулы следует, что, подавая либо очень малую, либо очень большую заявку, Потребитель получает малый ресурс X_i.

Найдем, какую же заявку S_i должен подавать i-й Потребитель, чтобы получить максимальный ресурс X_i (в условиях дефицита такая цель Потребителя представляется вполне понятной). График функции X_i=X_i(S_i) пересекается с графиком , причем точка пересечения является точкой максимума. Пусть максимум достигается в точке S_i^*, являющейся решением уравнения . Преобразуя последнее равенство, получаем .

Таким образом, равновесным является набор стратегий Потребителей , при этом X₁=S₁^*, X₂=S₂^*,........,X_n=S_n^*.

Выбирая вместо S_i^* любую другую стратегию S_i, i-й Потребитель лишь уменьшает выделяемый ему ресурс X_i.

Осталось вычислить константу . Имеем:

, откуда .

Замечание. Еще раз отметим, что набор стратегий S_i^* (i=1,2,.....,n) является равновесным, т.е., подавая любую заявку , i-й потребитель лишь уменьшает выделяемый ему ресурс X_i. Можно доказать, что каждая из стратегий S_i^* является также гарантирующей, т.е. в случае применения i-м Потребителем этой стратегии он в любом случае (т.е. при любых заявках остальных Потребителей) получает не меньше, чем X_i=S_i^*.

Пример. Пусть имеется пять Потребителей, приоритеты которых определяются числами 8, 6, 12, 15, 11. Ресурс Центра составляет 60. Определить равновесные стратегии (заявки) Потребителей, если ресурс распределяется в соответствии с механизмом обратных приоритетов.

Решение. Имеем: А₁=8, А₂=6, А₃=12, А₄=15, А₅=11; R=60. Вычислим константу . Определять необязательно, поскольку в формулы для S_i^* можно подставить сразу :

Ответ: S₁^*=10,7; S₂^*=9,2; S₃^*=13,1; S₄^*=14,6; S₅^*=12,5. Из-за ошибок округления сумма заявок несколько отличается от R=60.

Механизм обратных приоритетов обладает рядом достоинств. В частности, не происходит неоправданного завышения заявок, т.е. не возникает ситуации S_i>r_i . Кроме того, при условии разумного поведения Потребителей (т.е. при использовании каждым из них стратегии S_i^*) они получают столько, сколько просят.

Недостатком является то, что числа S_i^* скорее всего оказываются меньше реальных потребностей r_i. Вследствие этого Центр не получает достоверной информации о реальном дефиците.

Конкурсный механизм

Конкурсный механизм применяется в тех случаях, когда нецелесообразно “урезать” заявки, поскольку Потребителям ресурс нужен на реализацию каких-либо проектов, на которые меньшего ресурса не хватит. В этих условиях Центр проводит конкурс заявок. Те, кто побеждают в конкурсе, полностью получают требуемый ресурс, а проигравшие не получают ничего.

Реализация этого происходит следующим образом. Потребители сообщают Центру свои заявки S_i , а также величины W_i, характеризующие эффект, который они намереваются получить. На основании этих данных Центр вычисляет для каждого Потребителя показатель эффективности:

, i=1,2,....,n.

После этого ресурс распределяется следующим образом. Сначала рассматривается Потребитель с наибольшей эффективностью. Ему выделяется столько, сколько он просит (если у Центра хватает ресурса). Затем берется второй по эффективности и т.д. В какой-то момент оказывается, что на удовлетворение очередной заявки оставшегося у Центра ресурса не хватает. Тогда этот Потребитель, равно как и все оставшиеся, ничего не получает.

Пример. Имеется шесть Потребителей, подавших заявки в размере 14, 18, 10, 15, 8, 14 и сообщивших Центру соответственно следующие показатели эффекта: 36, 38, 25, 42, 28, 29. Каким должно быть распределение ресурса объемом 60 в соответствии с конкурсным механизмом?

Решение. По условию имеем S₁=14, S₂=18, S₃=10, S₄=15, S₅=8, S₆=14; W₁=36, W₂=38, W₃=25, W₄=42, W₅=28, W₆=29.

Вычислим показатели эффективности для каждого Потребителя:

.

Расположим эти числа в порядке убывания: .

Распределение ресурса начинаем с 5-го Потребителя: X₅=8. Ресурса осталось 60-8=52. Дальше в порядке убывания показателей эффективности следует 4-й Потребитель: X₄=15. Ресурса осталось 52-15=37. Далее X₁=14. Ресурса осталось 37-14=23. Далее X₃=10. Ресурса осталось 23-10=13. Следующему, 2-му Потребителю, требуется 18 единиц ресурса, а у Центра осталось всего лишь 13. Поэтому 2-й, а также 6-й Потребители ничего не получают: X₂= X₆= 0.

Ответ: X₁=14, X₂=0, X₃=10, X₄=15, X₅=8, X₆=0.

В эффективности описанного механизма могут возникнуть сомнения. Ведь Потребители могут пообещать большой эффект, получить ресурс, а затем не выполнить обещанного. Поэтому при реальном применении конкурсного механизма необходима действенная система контроля (возможно, поэтапный контроль для проектов с длительным сроком реализации).

Механизм открытого управления

Во всех рассмотренных выше механизмах распределения ресурсов Потребители могут добиться лучшего для себя решения Центра путем искажения информации. Таким образом, Центр не получает достоверных данных о запросах Потребителей.

Возможность эффективно управлять на основании недостоверной информации представляется, вообще говоря, сомнительной. Поэтому интересны механизмы открытого управления, идея которых заключается в создании для Потребителей стимулов к сообщению в заявке своих реальных потребностей.

Опишем один из возможных механизмов открытого управления. Распределение ресурсов проводится в несколько этапов. На первом этапе ресурс разделяется поровну между всеми Потребителями, т.е. по R/n каждому. Если заявок каких-то Потребителей оказалось не больше, чем R/n, то они полностью удовлетворяются. Тем самым число Потребителей уменьшается до n₁, уменьшается и ресурс Центра - до R₁. На втором этапе ресурс разделяется поровну между оставшимися n₁ Потребителями и т.д.

На каком-то этапе оказывается, что, разделив ресурс поровну между оставшимися Потребителями, не удается удовлетворить ни одной заявки. Тогда все эти Потребители получают поровну.

Пример. Восемь Потребителей подали Центру свои заявки. Они таковы: 12, 3, 6, 1, 5, 7, 10, 2. Центр обладает ресурсом R=40. Требуется распределить этот ресурс в соответствии с вышеописанным механизмом.

Решение. В данном случае на первом этапе получается следующее -R/n=5. Можно удовлетворить заявки второго, четвертого, пятого и восьмого Потребителей: Х₂=3, Х₄=1, Х₅=5, Х₈=2. При этом R₁=29, n₁=4.

На втором этапе имеем - R₁/n₁=7,25. Можно удовлетворить заявки третьего и шестого Потребителей: Х₃=6, Х₆=7. При этом R₂=16, n₂=2.

На третьем этапе имеем - R₂/n₂=8. Обе оставшиеся заявки превышают 8, поэтому первый и седьмой Потребители получают по 8 единиц ресурса: Х₁=8, Х₇=8.

Ответ: Х₁=8, Х₂=3, Х₃=6, Х₄=1, Х₅=5, Х₆=7, Х₇=8.

Описанный механизм является механизмом открытого управления. Действительно, в конечном счете все Потребители делятся на приоритетных (которые получили столько, сколько просили) и неприоритетных (к последним в приведенном примере относятся первый и восьмой потребители). Приоритетные получают столько, сколько они просят, поэтому им нет смысла искажать свои реальные потребности. Неприоритетные не могут увеличить выделенный им ресурс ни повышая, ни понижая свою заявку.

Таким образом, при распределении ресурсов в соответствии с описанным механизмом Центр получает достоверную информацию о реальных запросах потребителей.