Метод анализа иерархий

Одним из наиболее эффективным методов решения слабоструктурированных задач управления является метод анализа иерархий (МАИ), разработанный Т. Саати. Этот метод оказывается полезным при принятии решений на основе как формализованных, так и неформализованных факторов.

Главной чертой МАИ является то, что он отражает естественное мышление человека, принимающего решение независимо от широты спектра проблемы.

МАИ состоит в декомпозиции проблемы на простые части и элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений ЛПР (экспертов). А затем на основании обработки совокупности суждений методом матричной алгебры получаются конечные оценки в решении рассматриваемой проблемы. При этом определяется относительная степень взаимного влияния в иерархии.

Цель, факторы показательного оценивания и альтернативы образуют иерархическую структуру (рис. 7).

Рис. 7 Дерево целей МАИ: f1,f2,f3 - факторы (показатели), определяющие описание альтернатив; a1,a2,...an - множество альтернатив

Рассмотрение этой схемы (рис. 7) позволяет сформулировать ряд положений, отражающих сущность метода «анализа иерархий».

1. Число уровней иерархии, описывающих конкретную прикладную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент факторов описываемой альтернативы) рассматривается относительно цели выбора альтернатив. Поэтому при бинарном сравнении факторов каждый из них оценивается относительно поставленной цели выбора и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.

2. Попарные сравнения факторов осуществляются в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующей строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке B и столбцу A, заполняется обратным к нему числом. Если A и B эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

3. Для получения каждой матрицы требуется n×(n-1)/2 суждений, где n – число факторов, если сравнение проводится среди них, или n – число альтернатив, если они сравниваются по каждому фактору.

4. При бинарном сравнении альтернатив, в особенности при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.

Обработка результатов осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием ряда специальных процедур оценки предпочтений ЛПР на основании шкалы МАИ (табл. 18).

Таблица 18

Шкала отношений МАИ

Степень важности	Определение	Пояснение
	Одинаковая значимость	Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели
	Некоторое преобладание значимости одного действия (показателя фактора) перед другим, слабая зависимость	Опыт и суждения дают легкое предпочтение одному действию перед другим
	Существенная или сильная значимость	Опыт и суждения дают сильное предпочтение одному действию перед другим
	Очень сильная или очевидная значимость	Предпочтение одного действия над другим очень сильно, его превосходство практически явно
	Абсолютная значимость	Свидетельство в пользу предпочтения одного действия другому в высшей степени убедительно
2,4,6,8	Промежуточные значения между соседними значениями шкалы	Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных чисел	Если действию i при сравнении с j присваивается одно из приведенных выше чисел, то действию j по сравнению с i присваивается обратное значение	Если над диагональю целое число, то под диагональю его обратное значение.
Рациональное значение	Отношение, возникающее в заданной шкале	Если постулировать согласованность, то для получения матрицы требуется n- числовых значений

В обосновании принятой шкалы можно привести следующие соображения:

1) замечено, что способность человека производить количественные разграничения хорошо представлено 5 определениями: равный; слабый; сильный; очень сильный; абсолютный.

Можно принять компромиссные определения между отмеченными соседними, когда нужна большая точность. В целом требуется 9 значений, выносимых при сравнении объектов суждений.

2) Психологический предел 7±2 предметов при одновременном подтверждении, что если взять 7±2 отдельных предметов и если все они слегка отличаются друг от друга, то понадобится 9 точек, чтобы различить их. Использование 1 (единицы) в начале шкалы соответствует отношению значимости объекта относительно самого себя и хорошо описывается в формальную матричную процедуру МАИ (квадратных, обратно-симметричных матриц с положительными элементами).

В МАИ рекомендованы 4 способа обработки данных:

1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта (в данном случае 1-го фактора) и т.д.

2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась 1, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.

3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т.е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке - усреднение по нормализованным столбцам.

4. Умножить n-элементов каждой строки и извлечь из произведения корень n-й степени. Нормализовать полученные числа.

В общем случае, когда матрица М[n] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов. Расчет показателей согласованности выполняется следующим образом.

Определяется приближенная оценка главного собственного значения матрицы суждений. Для этого суммируется столбец суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом получаем l_max, которая называется оценкой максимума или главного значения матрицы М. Это приближение используется для оценки согласованности суждений эксперта. Чем ближе l_max к n, тем более согласованным является представление в матрице М[n] суждений. Отклонения от согласованности могут быть выражены величиной, которая называется индексом согласованности (ИС).

При оценивании величины порога несогласованности суждений для матриц размером от 1 до 15 методом имитационного моделирования получены оценки случайного индекса (СИ). СИ является индексом согласованности для сгенерированной случайным образом (по шкале от 1 до 9) положительной обратно симметричной матрицы. В табл. 4.2 приведены средние (модельные) значения СИ для матриц порядка n = 1÷15.

Таблица 19

Индексы согласованности

n
СИ			0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51	1.48	1,56	1,57	1,59

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы суждений того же порядка Саати называет отношением согласованности (ОС):

при n = const,

где n - количество элементов матрицы.

Значение ОС £ 0,10 считается приемлемым порогом допустимой согласованности суждений. Если значение ОС > 0,10, данные в той или иной матрице суждений необходимо уточнить.

Обобщенные веса (или приоритетность объекта при их выборе) определяются суммой произведений локальных приоритетов каждого объекта по каждому критерию на значимость этого критерия.

Практические аспекты применения

метода анализа иерархий

Рассмотрим пример применения метода МАИ для выбора проекта для финансирования. В связи с недостатком финансовых средств в бюджете города необходимо определить наиболее выгодный и необходимый для города объект для первоочерёдного финансирования. Выбранный объект должен удовлетворять первоочередные нужды города, при высокой степени рентабельности и минимальном риске проекта, для привлечения внешних, и внутренних займов, покрывающих недостаток собственных средств бюджета. Стоимость проекта возможно снизить с помощью использования имеющихся в наличии собственных строительных материалов, производящихся в области.

Имеются следующие проекты:

1. Строительство жилья;

2. Строительство дорог (внутригородская структура);

3. Строительство и реконструкция жилищно-коммунальных инфраструктур теплосеть, водоснабжение, газ).

В условиях бюджетного дефицита одновременное финансирование всех трех проектов невозможно. В связи с этим необходимо определить первоочередность финансирования указанных выше проектов.

Группа выбрала следующие основные критерии для определения первоочередности финансирования:

1. Стоимость проекта.

2. Наличие внутреннего займа для каждого из проектов.

3. Оценена потребность города в проекте.

4. Срок эксплуатации

5. Наличие внешних инвестиций для каждого из проектов.

6. Оценен риск вложения средств.

7. Отдача от проекта.

8. Наличие собственных материалов.

В качестве основных критериев сравнения будет выступать стоимость проекта, а также потребность в проекте как для населения, так и для города в целом (она же будет характеризовать и уровень жизни населения в городе). Другим критерием может служить срок эксплуатации. Для жилья он составляет около 50 лет, для дорог – 5, для жилищно-коммунальной системы – 20.

Для изыскания дополнительных, средств будем предполагать, что имеются как иностранные инвестиции так и средства внутреннего займа, получаемые от выпуска ценных бумаг городскими службами. При чем будем различать объекты финансирования. Если иностранные инвестиции будут в основном направлены на строительство дорог. То средства внутреннего займа будут направлены на строительство жилья.

Важным показателем является и наличие собственных строительных материалов, существование которых позволит сэкономить значительные средства, при одновременном стимулировании их производства в области. И если для строительства дорог и жилья наличие материалов не представляет проблем, то для строительства коммунальной инфраструктуры можно отметь полнейшее их отсутствие (пластиковые трубы, счетчики и т.д.). Все это придется покупать за границей или в других областях, поэтому данный проект наиболее дорогостоящей. Но и естественно не обойтись без элемента риска. Выбранный проект должен быстро окупиться и приносить прибыль.

Расчетная часть

1. Для начала представим нашу задачу в иерархической форме, определив цель, критерии выбора и альтернативы, (рис. 2), при этом обозначив варианты деятельности следующим образом:

Строительство жилья – А;

Строительство дорог – В;

Строительство жилищно-коммунальных структур – С.

Рис. 3. Дерево целей для выбора вида строительства

Рис. 8 Дерево целей для выбора вида строительства

2. Важность критериев оценивается путем попарных сравнений каждого фактора с каждым. Для 8 элементов необходимо провести 28 попарных сравнений, определив какой из факторов и в какой мере превосходит один над другим (по 9 – бальной шкале сравнений МАИ).

Для этого введем обозначения сравниваемых факторов:

А1 – Стоимость проекта

А2 – Внутренний займ

АЗ – Потребность в проекте