Многомерный статистический анализ

В предыдущих главах книги мы обсуждали, в основном, такие про­блемы, в которых случайная изменчивость была представлена одной (случайной) переменной. Например, у каждого наудачу выбранного объекта мы измеряли какой-то один признак; либо при каждой комби­нации управляющих факторов измеряли одномерный отклик, и т.д. Ис­ключение составила, в которой мы рассматривали вопросы связи двух (случайных) признаков. Там мы встретились с ситуацией, когда в одном эксперименте — например, при обследовании одного объекта, — измеряются сразу несколько характеристик. В таких опытах каждое наблюдение представляется не одним-единственным числом, а некото­рым конечным набором чисел, в котором в заданном порядке записа ны все измеренные характеристики объекта. Та часть математической статистики, которая исследует эксперименты с такими многомерными наблюдениями, называется многомерным статистическим анализом.

Измерение сразу нескольких признаков (свойств объектов) в одном эксперименте, в общем, более естественно, чем измерение лишь какого-то одного. Поэтому потенциально многомерный статистический анализ имеет обширное поле для применений. К тому же, с формальной точки зрения, одномерный статистический анализ (который мы и обсуждали ранее) представляет частный случай многомерного.

В настоящее время хорошо разработана математическая теория для многомерных гауссовских наблюдений, т.е. для случайных величин, подчиняющихся многомерному нормальному распределению. Здесь по­чти для каждого одномерного гауссовского метода существует соот­ветствующий многомерный вариант. Кроме того, имеются решения и для некоторых специфически многомерных статистических проблем

К сожалению, построение теории для многомерных статистических данных оказалось делом весьма трудным. Такая теория до сих пор еще далеко не достигает той полноты и законченности, которая свой­ственна ее одномерной версии. Хорошо разработана лишь теория для гауссовских (имеющих многомерное нормальное распределение) дан­ных. Здесь почти для каждого одномерного гауссовского статистическо­го метода имеется соответствующий многомерный вариант. Кроме того, естественно, имеются и методы для решения некоторых специфически многомерных задач.

Построение многомерных версий для других статистических мето­дов удается далеко не так гладко. В частности, непараметрические методы, такие важные и эффективные в одномерном случае, все еще не имеют своего законченного многомерного аналога (соответствующая теория находится в процессе разработки). Поэтому для аккуратно­го статистического анализа имеющихся данных нередко не находится адекватных статистических средств. Из-за этого, в частности, рассчи­танные на гауссовские данные правила нередко приходится применять и там, где для этого нет достаточных оснований. Конечные выводы в таких случаях бывает нелегко интерпретировать. Более того, при анализе многомерных данных часто используют и методы, вообще не имеющие четкой статистической трактовки в духе рассмотренных ранее концепций проверки гипотез, построения доверительных интервалов и т.д. Поэтому мы не будем пытаться изложить здесь хоть сколько-нибудь цельную картину многомерного анализа, а ограничимся упоминанием и кратким пояснениями нескольких наиболее популярных методов — тех, которые уже нашли отражение в статистических пакетах.