Стационарные случайные процессы

 

К числу наиболее простых для изучения случайных процессов относятся стационарные случайные процессы у которых все вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, у стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия из функций аргумента t превращаются в константы:

 

, (6.20)

 

. (6.21)

 

Это означает, что все сечения стационарного случайного процесса имеют одинаковое математическое ожидание и дисперсию (рис.6.4).

 

 

Рис.6.4. Реализации стационарного (а) и нестационарных (б,в) случайных процессов; б – нестационарность по математическому ожиданию; в – нестационарность по дисперсии.

 

Различают стационарные случайные процессы в узком смысле и в широком смысле.

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его n-мерная плотность распределения не изменится при сдвиге всех его временных аргументов на одинаковую произвольную величину q.

Поясним это на примере двумерной плотности распределения. Если стационарный случайный процесс X(t) имеет двумерную плотность f(t₁, t₂, x₁, x₂), то она не изменится если заменить t₁ на t₁+ q, а t₂на t₂ +q.

Это означает, что плотность распределения стационарного случайного процесса не зависит от того в какие моменты t₁ и t₂ рассматриваются сечения, а зависит от расстояния между этими сечениями t₁ – t₂ = t.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание постоянно (m_x = conct), а корреляционная функция – есть функция сдвига между аргументами: K_x(t₁, t₂) = k_x(t).

Если стационарный случайный процесс является стационарным в узком смысле, то он является стационарным и в широком смысле (обратное утверждение не всегда верно).

Корреляционная функция стационарного случайного процесса обладает следующими свойствами:

1. Она является четной функцией своего аргумента

 

. (6.22)

 

2. Значение корреляционной функции стационарного случайного процесса при нулевом сдвиге t равно дисперсии случайного процесса

 

. (6.23)

 

3. . (6.24)

 

Помимо корреляционной функции используется нормированная корреляционная функция стационарного случайного процесса, которую также называю автокорреляционной функцией:

 

. (6.25)

 

Она обладает практически теми же свойствами, что и корреляционная функция, у которой изменен масштаб по оси ординат:

 

1. . (6.26)

 

2. . (6.27)

 

3. . (6.28)