Нестрогая аналогия

В отличие от строгой аналогии нестрогая аналогия дает не достоверное, а лишь вероятное заключение. Если ложное суж­дение обозначить через 0, а истину через 1, то степень вероятности выводов по нестрогой аналогии лежит в интервале от 1 до 0, т. e. 1>Р(а)>0,где Р(а)- вероятность заключения по нестрогой аналогии.

Примерами нестрогой аналогии являются, в частности, следующие: испытание модели корабля в бассейне и заключе­ние, что настоящий корабль будет обладать теми же параметрами, испытание прочности моста на модели, затем построе­ние настоящего моста. Если строго выполнены все правила

 

построения и испытания модели, то этот способ умозаключения может приближаться к строгой аналогии и давать достоверное заключение, однако чаще заключение бывает вероятным. Разница в масштабах между моделью и прототипом (самим сооруже­нием) иногда бывает не только количественной, но и качествен­ной. Не всегда также можно учесть различие между лаборатор­ными условиями (испытания) модели и естественными условия­ми работы самого сооружения, поэтому возникают ошибки.

Примеры таких аналогий многочисленны. Возрождение ста­рых идей при создании новой техники - сейчас закономерный процесс. В настоящее время, например, парусные суда и дирижабли снова выходят на сцену, но они связаны с прошлой техни­кой лишь по отдаленной аналогии, так как создаются теперь по последним техническим достижениям и оснащены современным оборудованием и ЭВМ.

Человек в целях управления часто использует аналоговые ма­шины. На корабле, чтобы в шторм максимально снять дейст­вие бортовой качки, устанавливаются специальные ласты, движением которых управляет аналоговая машина. Решая дифференциальное уравнение движения волн, она как бы зара­нее “предвидит” набегающую волну и с помощью ласт корректирует положение корабля. Аналоговые машины успешно при­меняются и для управления полетом самолета, в том числе при посадке, выполняя функции пилота при густом тумане над аэро­дромом.

В математических доказательствах используется только строгая аналогия, а при решении задач (арифметических, гео­метрических и др.) применяется либо алгоритм, либо нестро­гая аналогия с уже решенными однотипными задачами. Значи­тельное число интересных примеров использования аналогий в математике содержится в книге Д. Пойа “Математика и правдоподобные рассуждения”.

Аналогия в математике используется и тогда, когда, пытаясь решить предложенную задачу, мы начинаем с другой, более про­стой. Например, при решении задачи из стереометрии мы нахо­дим подобную задачу в планиметрии; в частности, решая задачу о диагонали прямоугольного параллелепипеда, мы обращаемся к за­даче о диагонали прямоугольника. В геометрии имеется аналогия

 

между кругом и шаром. Существуют две аналогичные теоре­мы: “Из всех плоских фигур равной площади наименьший пе­риметр имеет круг” и “Из всех тел равного объема наимень­шую поверхность имеет шар”. Д. Пойа пишет: “...Сама при­рода расположена в пользу шара. Дождевые капли, мыльные пузыри, Солнце, Луна, наша Земля, планеты шарообразны или почти шарообразны”¹.

Д. Пойа приводит забавную аналогию из области биологии:

когда в холодную ночь кот приготовляется ко сну, он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколь­ко возможно шарообразным, очевидно, для того, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным его выделение через поверх­ность своего тела. “Кот, - продолжает Д. Пойа, - не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность. Он решает задачу о теле с дан­ным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возмо­жно более шарообразным”².

Эту аналогию можно использовать как на уроках математи­ки, так и на уроках биологии.

Для повышения степени вероятности выводов по нестрогой аналогии следует выполнить ряд условий:

1) число общих признаков должно быть возможно большим;

2) необходимо учитывать степень существенности сходных при­знаков, т.е. сходные признаки должны быть существенными. Ана­логия на основе сходства несущественных признаков типична для ненаучного и детского мышления. Дети могут съесть ядовитые ягоды на основе их внешнего сходства со съедобными. Но ино­гда и на основе чисто внешнего признака можно сделать откры­тие, как это было в случае открытия алмазов в Якутии;

3) общие признаки должны быть по возможности более раз­нородными;

4) необходимо учитывать количество и существенность пун­ктов различия. Если предметы различаются в существенных признаках, то заключение по аналогии может оказаться ложным;

5) переносимый признак должен быть того же типа, что и сходные признаки.

______________________

'Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975. С. 187.

²Там же.