Введение декартовых координат в пространстве
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в точке O. Через каждую пару прямых проведем плоскости. Получим три плоскости xy, xz и yz.
Данные прямые x, y и z называются координатными осями.
Плоскости xy, xz и yz называются координатными плоскостями.
Точка O - точка пересечения прямых x, y и z называется началом координат (рис.31)
Рис 31
Координатой x точки A называется число, равное абсолютной величине длине отрезка OAx: положительное, если точка Ax лежит на положительной полуоси x, отрицательное, если на отрицательной полуоси. Аналогично можно определить координаты у и z
Координаты точки A в пространстве записываются так: A(x;y;z)(рис.32)
Рис.32
Основные формулы
Расстояние между точкамиA1(x1;y1) и A2(x2;y2) :
|
Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2)
|
Задача 1.Даны точки А(1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0;3), D(1; 2; 3). Какие из этих точек лежат: 1) в плоскости ху; 2) на оси z; 3) в плоскости уz?
Решение. У точек плоскости ху координата z равна нулю. Поэтому только точка Dлежит в плоскости ху. У точек плоскости уzкоордината zравна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости уz. У точек на оси z две координаты (х и у) равны нулю. Поэтому только точка С лежит на оси z.
Задача 2. В плоскости ху найти точкуD, равноудаленную от трех точек: А (0; 1;--1),
В (-1; 0; 1),С(0;-1;0)
Решение:
АD2 = (х – 0)2 + (у – 1)2 + (0 + 1)2,
ВD2 = (х+ 1)2 + (у – 0)2 + (0 - 1)2,
СD2 = (х – 0)2 + (у + 1)2 + (0 - 0)2.
Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два уравнения для определения х и у:
-4у + 1 = 0, 2х – 2у + 1 = 0. Отсюда х = 
; у = - 
. Искомая точка D( ; - ; 0)
Задачи
Цель. Учиться находить координаты точек пространства, использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы; проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.
