Вынужденные колебания осциллятора под действием синусоидальной силы

Колебания, которые совершаются за счет работы внешних сил, называются вынужденными, а действующая сила – вынуждающей.

Рассмотрим простейший случай – воздействие на систему внешней силы, меняющейся по гармоническому закону:

(1.93)

где и - соответственно амплитудное значение и частота вынуждающей силы.

Запишем II закон Ньютона для вынужденных колебаний:

(1.94)

и, вводя обозначения и , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний ГО:

(1.95)

Заметим, что сразу после приложения вынуждающей силы возникает переходный режим вынужденных колебаний, при котором система участвует в двух колебаниях – свободных затухающих колебаниях и незатухающих колебаниях с частотой w вынуждающей силы. Однако через некоторое время tсвободные колебания системы практически прекращаются. Система переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, которые происходят по тому же закону и с той же частотой, с которой меняется вынуждающая сила.

Поэтому естественно предположить, что решение (1.95) должно иметь вид:

(1.96)

Неизвестные амплитуду и начальную фазу найдем с помощью векторной диаграммы этого колебания (рис.1.23).

Рис.1.23. Векторная диаграмма вынужденных колебаний

Построим векторную диаграмму для начального момента времени t0. Функцию представим вектором , направленным по оси Ox. Функция   изобразится вектором длиной , отложенным от оси Ox под углом (-a).

Ускорение представим вектором длиной , направленным противоположно вектору . Наконец, функцию

изобразим вектором длиной , перпендикулярным . Из треугольника (см. рис.1.23) видно, что

Следовательно, амплитуда установившихся вынужденных колебаний равна:

(1.97)

а начальная фаза определяется из соотношения

(1.98)