Принцип неопределённости в квантовой механике. Квантовые пределы точности измерений.

В 1927 г. В. Гейзенберг установил так называемый принцип неопределённости, согласно которому: невозможно одновременно точно осуществить одновременное измерение координаты и импульса микрочастицы. Это означает, в свою очередь, что осуществление измерения одной величины, исключает возможность измерения другой физической величины, дополнительной к ней. При этом, чем точней будет измерена координата микрочастицы, тем больше будет неопределённость в измерении импульса, и наоборот. Немного ранее Н. Бор сформулировал один из основополагающих принципов квантовой механики – так называемый принцип дополнительности, согласно которому невозможно точно измерить одну физическую величину микрообъекта без потери информации о величине, дополнительной к ней. Так, пусть исследуется состояние частицы в заданный момент времени. Если нужно зафиксировать положение частицы в пространстве, то для измерения координат необходимо визуально её наблюдать. Для этого требуется, например, освещение частицы светом длиной волны . Однако из-за известных эффектов дифракции точность определения любой из координат, например координаты , не может превзойти значение длины волны , т.е. неточность в измерении имеет порядок величины длины волны . В то же время свет с длиной волны представляет собой поток фотонов с импульсом:

откуда для компоненты имеем соответственно:

С другой стороны, при освещении электрона, первоначальный его импульс из-за столкновения с фотоном изменяется на величину порядка импульса фотона, т.е. неточность в определении импульса электрона . Следовательно, справедливым будет соотношение:

откуда:

Очевидно для двух других компонент импульса, будем иметь соответственно:

Полученные соотношения не разрешают точного определения всех параметров траектории (например, если , то ). Отсюда следует, что если точно определить координату частицы, то ничего нельзя сказать об её импульсе и наоборот. Из соотношения неопределённости следует, что чем точнее определено значение одной из входящих в него величин, тем менее определено будет значение другой, дополнительной к ней величины. Существенно то, что никакие другие мыслимые эксперименты не могут обойти соотношение неопределённости. Это значит, что импульс и координата одновременно не могут быть заданы в принципе, то есть понятие траектории движения для микрочастиц теряет свой смысл. По этой причине выражение:

для атомных явлений оказывается неприменимым. Итак, для случая трёх пространственных координат, соотношение неопределённости может быть в общем случае задано системой уравнений вида:

В применении к интересующему нас здесь волновому пакету, полученные выше уравнения можно будет представить далее к виду:

Поскольку имеет место расплывание пакета, не учтённое при выводе данных формул, полученные выше уравнения будет правильней представить как:

≳ , ≳ , ≳

Обсудим теперь смысл данных неравенств, исходя из вероятностной трактовки волновой функции. Так, если ширина волнового пакета равна , то измерения координаты электрона покажут, что с подавляюще большой вероятностью он будет обнаружен, очевидно, в области пространства . В этом смысле можно говорить о том, что координата электрона определена с точностью до величины . При этом, однако, электрон, находящийся в области , не описывается плоской волной и не имеет определённого значения импульса. Для образования волнового пакета шириной необходимо было создать суперпозицию плоских волн с импульсами в интервале , где определено по формуле ≳ . Это в свою очередь означает, что измерение импульса электрона, локализованного в области , будут приводить к значениям импульса, лежащим в указанном интервале. Иными словами, неопределённость в значении координаты электрона (локализованного в области ) и неопределённость в значении его импульса связаны соотношением ≳ . Напротив, если задан интервал импульсов , то формула ≳ показывает, что частица с подавляюще большой вероятностью будет обнаружена в области пространства размером, величина которого может быть определена на основании формулы вида:

Из равенства ≳ следует, что величины и не могут быть равны нулю одновременно. Это означает, что координата и сопряжённый с ней импульс не могут одновременно иметь вполне определённые значения. Таким образом, классические понятия пространственного положения и величины импульса применимы к микрочастице в определённых пределах, даваемых соотношениями Гейзенберга. Всякая попытка одновременно применить к микрочастице понятия импульса и координаты с большей точностью, вне рамок соотношений неопределённости, не имеет смысла. Это обстоятельство связано с самой природой микрочастиц, с их корпускулярно-волновыми свойствами. В этой связи нужно предостеречь от ошибки, допускаемой некоторыми авторами, которые полагают, что соотношения неопределённости Гейзенберга дают ту степень точности, с которой могут быть определены координаты и импульс микрочастицы в рамках квантовой механики. По их мнению, для более точного одновременного определения координат и импульсов необходимо дальнейшее развитие теории. В действительности это не так. Микрочастица является совершенно новым, отнюдь не классическим, объектом со своими характерными свойствами и законами движения. Как мы уже указывали, отличительной особенностью микрочастиц является обнаруживаемый ими дуализм корпускулярных и волновых свойств. Из дифракционных опытов вытекает, что частица не имеет траектории. Поэтому описывать её движение, задавая точное значение координаты и импульса в каждый момент времени, как это делается в классической механике, невозможно. Однако можно указать с некоторой степенью точности величину той области пространства, в которой частица с подавляюще большой вероятностью будет обнаружена, и интервал тех значений импульса, которым она при этом обладает. Значение этих величин даётся соотношениями Гейзенберга. Заметим, что когда частица имеет вполне определённое значение импульса , то согласно ≳ её положение совершенно неопределённо, то есть . Действительно, состояние с определённым импульсом описывается плоской волной де Бройля. Для такой волны квадрат модуля волной функции постоянен, то есть частица с одинаковой вероятностью может быть обнаружена в любой точке пространства. С другой стороны, если задано вполне определённое положение частицы в данный момент времени, то её импульс совершенно не определён. Так, имеем:

≳ , ≳ , ≳ ,

учитывая, что:

имеем соответственно:

≳ , ≳ , ≳ ,

или в окончательном виде:

≳ ≳ ≳

Соотношение неопределённости Гейзенберга, записанное в таком виде, показывает, что понятия классической физики оказываются применимыми с тем большей степени точности, чем больше масса частицы. Ввиду малости постоянной Планка , неопределённость в значениях координаты и скорости становится пренебрежимо малой у частиц макроскопически малого, но ещё не атомного размера. Приведенные соображения являются иллюстрацией общего важного положения квантовой механики, именуемого принципом соответствия, согласно которому при переходе к пределу , то есть в предположении, что эффектами, пропорциональными постоянной Планка , можно пренебречь, законы и соотношения квантовой механики переходят в соответствующие законы и соотношения классической механики. В частности, у частиц с большой массой отношение столь мало, что практически её координата и скорость имеют определённые значения. Такая частица обладает траекторией, по которой она движется в соответствии с законами классической механики. Важность принципа соответствия заключается в том, что он служит методом отыскания квантово-механических аналогов классических величин. Квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай, отвечающий . Благодаря принципу соответствия, оказывается возможным установить связь между некоторыми квантово-механическими величинами и понятиями классической механики. Наряду с приведенными выше рассуждениями, соотношения неопределённости часто получают из обсуждения возможной степени точности определения координаты и импульса микрочастицы в различных принципиально возможных экспериментах. Так, если задана область возможного движения микрочастицы, например, размер атома или ядра, то соотношения неопределённости позволяют качественно оценить значения её импульса и энергии. Действительно, абсолютная величина импульса того же порядка, что и его неопределённость . Следовательно, ≳ , а энергия частицы:

откуда хорошо видно, что с уменьшением области локализации энергия возрастает. Данная проблема имеет принципиальное значение, поскольку касается одного из важнейших вопросов квантовой механики – вопроса касающегося квантовых пределов точности измерений. Данные вопросы относятся на сегодняшний день к наиболее актуальным проблемам в современной науке. Это связано прежде всего с бурным развитием наиболее приоритетных областей физики и химии конденсированного состояния вещества. Данная проблема получила название проблемы «толстых пальцев», под которой подразумевается сложность манипулирования наночастицами. Другая пара величин, связанных между собой соотношением неопределённостей – это энергия системы и время , в течение которого система имеет это значение энергии:

Отсюда следует, что если имеется возможность наблюдать динамическую систему в

 

течение времени , то её энергия может быть определена с точностью:

Таким образом, соотношение неопределённостей устанавливает фундаментальные, принципиально непреодолимые пределы точности измерений. Можно даже сказать, что природа позволяет изучать себя с точностью только до соотношения неопределённостей и не более того. Не один эксперимент не может привести к одновременному и точному измерению величин, которые являются дополнительными друг к другу. Принцип неопределённости часто объясняют влиянием измерительного прибора на частицы. С одной стороны, это оправдано, поскольку большинство измерительных приборов, так или иначе, являются макроскопическими, грубыми по отношению к размерам квантовых объектов. Понятно, что чем больше техническое несовершенство измерительного прибора, тем менее определёнными (точными) будут измерения. С другой стороны, неопределённость в измерениях связана не только с несовершенством измерительной техники, но и с объективными свойствами материи, так как любое измерение, как физический процесс, обязательно сопровождается каким-либо воздействием на объект, в процессе измерения.