Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла

 

Объем тела V находится по формулам: или

–– в декартовых координатах;

–– в цилиндрических;

–– в сферических.

Пример 8.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x² + y² и z = 1. Сделать чертеж.

Решение. Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу –– параболоидом z = x² + y² (рис. 15). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:

(куб. ед.).

 

Пример 8.2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z = 4x² + 2y² + 1, x + y – 3 = 0, x = 0, y = 0, z = 0. Сделать чертеж.

 

Решение. Данное тело ограничено сверху частью параболоида z = 4x² + 2y² + 1, снизу –– плоскостью z = 0, боковые поверхности: x = 0, y = 0 x + y = 3 (рис. 16). Проекцией тела на плоскость xOy есть треугольник (рис. 17).

(куб. ед.).