Кинетическая энергия вращения

Определим теперь работу, совершаемую моментом сил при поворачивании тела на определенный угол φ вокруг неподвижной оси 00' (рис. 34). Пусть к твердому телу приложена сила F, касательная к траектории точки приложения, момент которой относительно оси 00' равен М = Fr. При поворачивании тела на угол Δφ точка приложения силы А переместится на длину дуги Δs, откуда работа, совершенная силой F, будет:

ΔA = F*Δs.

Длина дуги равна

Δs = r*Δφ,

где Δφ – угол поворота тела, следовательно,

ΔA = F*r*Δφ,

или, так как F*r = M есть момент силы F,

ΔA = M*Δφ. (92)

Таким образом, работа, совершаемая при поворачивании тела на угол Δφ, численно равна произведению из момента силы на угол поворота.

 

Рис. 34.

Работа силы, вызывающей вращение

 

При переменном моменте силы М выражение (92) записывается в дифференциальном виде

dA = M(φ)dφ,

и для вычисления полной работы при повороте на некоторый угол производится интегрирование.

В случае, если момент М постоянен, работа, совершаемая при поворачивании тела на конечный угол φ, будет равна:

A = M*φ. (93)

Рассмотрим теперь тело, вращающееся с данной угловой скоростью ω вокруг неподвижной оси. Кинетическая энергия его i-гo элемента будет:

,

где Δm_i — масса этого элемента и v_i — его линейная скорость. Так как v_i = r_iω, то

.

Кинетическая энергия вращения всего тела равна сумме кинетических энергий его отдельных элементов:

.

Поскольку все точки абсолютно твердого тела вращаются с одинаковой скоростью, можно записать:

.

Но по формуле (76) есть момент инерции тела (относительно оси вращения), откуда

. (94)

Таким образом, кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси выражается формулой, совершенно аналогичной формуле, дающей кинетическую энергию материальной точки, только роль массы т играет момент инерции J, а роль линейной скорости — угловая скорость ω.