Диаграмма Вышнеградского

 

Влияние распределения корней на характер переходного процесса и на устой­чивость хорошо иллюстрирует диаграмма, построенная И.А. Вышнеградским для нормированного характеристиче­ского уравнения третьего порядка

.

Область устойчивости в плоскости параметров А₁ и А₂ состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область I, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодическому переходному процессу. Область II, ограниченная линией abd, соответствует паре комплексных корней и одному действительному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотонный. В области III, заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действительный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный.

На диаграмме показано также распределение корней для разграничительных линий. В точке b, в которой А₁=А₂=3, все три корня действительные и равные друг другу.

Частотные методы базируются на прямом и обратном преобразовании Фурье.

Если f(t) – функция периодическая, то для нее применимо:

Будем рассматривать:

Y(t)=h(t); x(t)=1(t)

, - вещественная характеристика.