Упругие волны

Упругие волны — процесс распространения в упругой среде механических деформаций. Различают два вида упругих волн — продольные и поперечные.

Продольными называются волны, в которых колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Упругие продольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и поэтому могут возникать в любых средах — твердых, жидких и газообразных.

Поперечными называются такие волны, в которых колебания частиц среды происходят в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут распространяться лишь в средах, обладающих упругой деформацией сдвига, т.е. в твердых телах. Исключением из этого являются высокочастотные (n~10¹⁰ Гц) гиперзвуковые волны, возбуждаемые в жидкостях, которые (см. § 10.2) при таких частотах ведут себя как твердые тела, и поверхностные волны, возникающие на границе раздела двух жидких или жидкой и газообразной фаз.

Найдем уравнение гармонической одномерной упругой волны называемой часто бегущей волной.

Пусть источник волн S колеблется в упругой среде по гармоническому закону

Рис. 22.1

где x – смещение от положения равновесия в момент времени t.

Колебания в точке M, отстоящей от источника на расстояние x (рис. 22.1), совершаются по закону .

где — время, в течение которого волновой фронт достигает точки M.

Таким образом,

(22.1)

Это и есть уравнение бегущей волны. Здесь x — смещение от положения равновесия в точке пространства с координатой x в момент времени t.

Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющейся в одинаковой фазе. Длина волны численно равна пути, который проходит передний фронт волны за время, равное периоду колебаний

Преобразуем выражение для фазы волны следующим образом:

Тогда уравнение волны можно представить в виде

(22.2)

Уравнения (22.1) и (22.2) эквивалентны.

Продифференцируем уравнение (22.1) дважды по координате x и по времени t:

; ;	(22.3)
; ;	(22.4)

Из (22.3) и (22.4) следует

(22.5)

Дифференциальное уравнение (22.5) называется волновым уравнением. Решением этого уравнения может быть любая волна с произвольной формой фронта.