Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта

Для корректного использования алгоритмов идентификации требуется предварительная оценка таких свойств объекта, как стационарность/ нестационарность, линейность/нелинейность. Эти задачи решаются с помощью алгоритмов предварительной обработки данных. В общем случае исходными данными служат массивы «выборки» квантованных значений входных и выходных сигналов объекта, измеренных через определенные интервалы дискретизации во времени. Длина реализации, подвергающейся испытанию на стационарность должна быть достаточной, чтобы в ней отразился возможный тренд (нестационарность).

Объект исследования считается стационарным, если стационарному случайному сигналу объекта соответствует стационарный сигнал на его выходе. Как известно, случайный процесс называется строго стационарным, если для любых t₁,…,t_n и τ распределение случайного вектора (x[t₁+τ],…,x[t_n+τ]) не зависит от τ . Для большинства реальных приложений достаточно проверить слабую стационарность процесса, то есть тот факт, что средние значения и автокорреляционная функция не зависят от времени.

Опишем алгоритм проверки стационарности:

1. Для оценки стационарности процесса реализацию разбивают на nинтервалов равной длительности. Подсчитывают средние значения и средний квадрат для каждого изn интервалов и поученные значения располагают в порядке возрастания номеров интервалов:

<¹x>, <²x>, … , <ⁿx>, <¹x²>, <²x²>, … , <ⁿx²>,

где < > - осреднение по времени.

2. Каждый из этих последовательностей испытывают на тренд известными методами серий и тренда или методами разложения функциональных рядов.

3. Hа основе анализа результатов, полученных при применении этих методов, принимается решение о стационарности объекта с уровнем значимости 5%.

Вначале проверке на стационарность подвергается реализация входного сигнала. Если он оказывается нестационарным, дальнейшая статистическая обработка не производится. В противном случае на стационарность проверяется реализация выходного сигнала и делается суждение о стационарности или нестационарности объекта.

Суждение о линейности объекта осуществляется на основании оценки вида закона распределения реализаций, исходя из следующих положений:

- из теории прохождения сигнала через линейную систему известно, что если входной сигнал подчиняется нормальному закону распределения, то и выходной сигнал тоже распределен нормально;

- линейная динамическая система обладает свойством нормализации закона распределения выходного сигнала в тех случаях, когда распределение сигнала на входе отличается от нормального;

- при прохождении нормально распределенного сигнала через нелинейную систему закон распределении искажается.

Описанные ситуации отражены в следующей таблице:

Закон распределения сигнала	Тип объекта
Входной сигнал	Выходной сигнал
Нормальный	Нормальный	Линейный
Нормальный	Отличный отнормального	Нелинейный
Отличный отнормального	Нормальный	Линейный

Таким образом, задача оценки линейности объекта сводится к проверке гипотезы о нормальности законов распределения исходных реализаций. В случае, когда входные и выходные сигналы объекта имеют распределение, отличное от нормального, вывод о линейности или нелинейности объекта сделать нельзя. В этом случае оценка линейности объекта осуществляется на этапе идентификации.

Проверка закона распределения на нормальность проводится стандартными методами математической статистики.