VII. п.5. Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области D xOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z): и , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:

. (2)

Пример. Дано: . Найти и .

Здесь . По формулам (2) находим:

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:

. (3)