П.5. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочередующиеся ряды представляют собой частный случай знакопеременных рядов, когда знаки членов «плюс» и «минус» поочередно меняются. Если считать все числа положительными, то знакочередующийся ряд в общем виде можно записать таким образом:
, (11)
Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, и общий член ряда по модулю стремится к нулю.
Таким образом, для сходимости знакочередующегося ряда (11) достаточно выполнения двух условий:
1) ;
2) .
Следствия из теоремы Лейбница:
1) сумма сходящегося знакочередующегося ряда, записанного в форме (11), положительна и меньше его первого члена:
; (12)
2) если ряд (11) сходится по признаку Лейбница, то его остаток
по модулю меньше своего первого члена: .