Вынужденные колебания без сопротивления при гармоническом воздействии. Резонанс

 

На тело действует гармоническая сила с частотой и амплитудой . Уравнение (7.1) принимает вид:

. (7.3)

Общее решение неоднородного уравнения складывается, как известно, из решения однородного уравнения (7.2) и частного решения, т.е. любой функции, удовлетворяющей уравнению (7.3). В данном случае частное решение нетрудно угадать: . Подставляя его в (7.3), получим:

.

Итак, общее решение

. (7.3а)

Колебания с частотой вынуждающей силы называются чисто вынужденными колебаниями, поскольку при учете трения колебания с собственной частотой со временем затухают. В данном случае вынужденные колебания – частное решение:

.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты возмущающей силы (амплитудно– частотная характеристика (АЧХ)) представлена на рис. 7.2. При частоте возмущающей силы, равной собственной частоте, амплитуда колебаний стремится к бесконечности – это явление называют резонансом.

Рис. 7.3.Резонанс

2π

Рис. 7.2. АЧХ

p

 

Решение при резонансе получим как предел общего решения (7.3a) при , найдя предварительно из начальных условий значения постоянных:

,

и общее решение .

Вычисляя при помощи правила Лопиталя предел при , получим:

.

Подчеркнутое слагаемое показывает рост размаха колебаний пропорционально времени (рис. 7.3).