Твердого тела. Замена опорной точки во втором ФЗМ

Уравнения первого и второго законов полностью описывают трансляционное и вращательное движения твердого тела:

(5.31)

Второму уравнению можно придать более удобный для решения вид. Кинетический момент относительно неподвижной точки А можно выразить через кинетический момент относительно подвижной точки В (рис. 5.12,а):

Аналогично .

Подставляя эти выражения во второе уравнение (5.31), с учетом

, получим:

. (5.32)

В некоторых случаях уравнение (5.32) проще и удобнее применять.

1. В качестве подвижной точки можно взять не принадлежащую телу точку, например, точку касания поверхности катящегося (или скользящего) тела (рис. 5.12,б). В этом случае , поэтому уравнение (5.32) упростится:

и, кроме того, в уравнение не войдут неизвестные реакции, поскольку их момент относительно точки В равен нулю.

2. Если в качестве подвижной точки В взять центр масс, уравнение (5.32) примет вид: , или

. (5.33)

Это уравнение полностью описывает вращательное движение и не отличается от уравнения, описывающего вращение вокруг неподвижной точки.

Рис. 5.12. Подвижная опорная точка

⦁ B

б)

• C

в)

С Z

Таким образом, удобной в большинстве случаев системой уравнений, описывающих произвольное движение твердого тела является следующая:

(5.34)

Если тело совершает плоское движение (рис 5.12,в), то , где единичный вектор, перпендикулярный плоскости движения. Первое уравнение в (5.34) проецируется на оси и в плоскости движения, а второе скалярным умножением на проецируется на ось , проходящую через центр масс: . С учетом система имеет вид:

(5.35)

Рассмотрим примеры.