Описание ориентации тела. Направляющие косинусы

Как уже отмечалось в разд. (4.1.1), положение твердого тела можно описать вектором положения какой-либо точки , называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются , а в актуальном – . В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени , тогда , но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем. Так, например, можно принять, что орты декартовой системы координат в используемой системе отсчета.

Разложим векторы по базису (рис. 4.4):

. (4.7)

Скалярные произведения , равные косинусам углов между , называются направляющими косинусами: .

Применяя правило суммирования по повторяющимся индексам, вместо трех строчек (4.7), в каждой из которых три слагаемых, можно написать короткую формулу . При этом принимается соглашение, что по индексам, присутствующим в обеих частях равенства (в данном случае это индекс ) суммирование не производится, а равенство повторяется раз.

Из девяти направляющих косинусов только три являются независимыми, поскольку между ними есть шесть уравнений связей:

, (4.8)

где, напомним, называется символом Кронекера.

В формуле (4.8) символ «отфильтровал» в двойной сумме по индексам только те слагаемые, у которых .

Знание направляющих косинусов полностью решает задачу описания движения, но выбрать три независимых и аналитически выразить через них остальные шесть невозможно, так как система уравнений (4.8) нелинейная, поэтому в качестве трех параметров, задающих ориентацию тела, обычно используются углы.