Треугольник Паскаля

Существует эффективный способ вычисле­ния значений при различных конкретных значениях n и m.

Выпишем в первой строке значение . Во второй строке выпи­шем значения то есть числа 1, 1. В третьей строке выпишем значения , то есть, соответственно, числа 1, 2, 1. В следую­щей строке будут значения , ― соответственно, числа 1, 3, 3, 1. Каждая последующая строка будет содержать все значения при значениях m = 0, 1,…, n для n = 4, 5, ...

Заполнение каждой строки, начиная с третьей, происходит следую­щим образом, в соответствии со свойствами сочетания:

1. Крайние слева и справа элементы любой строки равны 1 (свойство 1).

2. Каждый внутренний элемент строки равен сумме соседних с ним сле­ва и справа элементов предыдущей строки (свойство 4).

Получаем следующую фигуру (при n = 0, 1, 2, З, 4, 5):

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

Построен так называемый треугольник Паскаля для n от 0 до 5. Его построение по описанному принципу может быть продолжено как угод­но далеко. В любой строке треугольника равны любые два числа, равноотстоящие от концов (по свойству 3).

Заметим, что самая верхняя строка имеет номер 0; следующая ― но­мер 1 и т. д.; номер любой строки, начиная со второй, совпадает с чис­лом, следующим за левой единицей. Кроме того, в любой строке с но­мером n сумма всех ее членов равна 2ⁿ, Это следует из свойства 2.

Треугольник Паскаля позволяет находить без вычислений по форму­ле любое значение . Например, найдем . Для этого ищем строку, в которой после левой единицы находится число 5, затем, начиная от это­го числа, отсчитываем третье; это и будет искомое значение. Таким об­разом, .