Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления ). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появлений события А в этих испытаниях.

Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях либо появится 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: . Остаётся найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:

, (2.16)

где k=0, 1, 2, …, n.

Данная формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Распределение, определяемое формулой Бернулли называют биноминальным. Потому что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона.

. (2.17)

Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события раз; …; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Напишем биноминальный закон в виде таблицы:

X n n-1 … k … 0

Р … …

Математическое ожидание для биноминального распределения имеет вид:

, (2.18)

 

Пример 6

Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».

Решение:

Вероятность появления герба в каждом бросании монеты , следовательно вероятность непоявления герба .

При бросании монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: . Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем искомый закон распределения:

Х 2 1 0

Р 0.25 0.5 0.25.