Выражение векторного произведения через координаты векторов

 

Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:

 

(1.14)

 

Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис. 1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то произведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произведение равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору).

 

Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей. Пусть в стандартном базисе векторы и имеют координаты и соответственно. Тогда, используя линейность векторного произведения по любому множителю (см. пункт 2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем

 

Запишем это равенство при помощи определителей второго порядка:

 

 

(1.15)

 

Правую часть (1.15) можно представить как результат разложения символического определителя третьего порядка по первой строке