Трехзначная логика Гейтинга

Трехзначная логика Гейтинга это часть многозначной логики. Она охватывала лишь часть классической формальной логики.

Класс функций в логике Гейтинга задается суперпозицией следующих исходных функций: , →, ˅, &[2] .

Где:

x & y = min (x,y)

x ˅ y = max (x,y)

Неопределенность

В логике Гейтинга отрицание неопределенности ложно.

Импликацию можно задать следующим образом:

C(X,Y)=1, если X≤Y, C(X,Y)=Y

Отрицание

Трехзначная логика с отрицанием Гейтинга отчетливо представлена в стихотворении З.Н. Гиппиус «Между», помеченном 1905 годом :

На лунном небе чернеют ветки...

Внизу чуть слышно шумит поток,

А я качаюсь в воздушной сетке,

Земле и небу равно далек.

Несколько необычно время, избранное лирическим героем для качаний в воздушной сетке. Показательна неопределенность среднего положения героя. Он не только над землей, но еще и над потоком — этой аллегорией непрерывного движения. Небо обездвижено, а сам герой движется, но очень своеобразно: это покачивание относительно положения равновесия, «движение на месте». Таким образом, не только по отношению к земле и небу, но и по отношению к движению и покою лирический герой занимает срединное положение. Далее перечисляются неприемлемые крайности:

Внизу — страданье,

вверху — забавы,

И боль, и радость — мне тяжелы.

Как дети, тучки тонки, кудрявы...

Как звери, люди жалки и злы.

Лирический герой пространственно — в воздушной сетке, между небом и землей. Лирический герой подвешен между тучами и людьми, первые напоминают ему детей, вторые — зверей. Понятно, что небу, верху и детям можно здесь приписать высшую истинность, земле, низу и зверям — ложность, а положению самого героя — неопределенность. И он признается: «Людей мне жалко, детей мне стыдно, здесь — не поверят, там — не поймут, внизу мне горько, вверху — обидно, и вот я в сетке — ни там, ни тут» (Гиппиус. С. 152). В двузначной логической системе нельзя быть ни там, ни тут, поскольку эта оппозиция исчерпывает в заданном смысле все пространство. С другой стороны, если мы можем отнести слово «там» к месту, удаленному от лирического героя, то «тут» указывает на то, что рядом, и может относиться и к самой сетке. Отрицание этой неопределенности произойдет на рассвете, и лирический герой знает, что его сожжет солнце. Но, вероятно, возможность ускользнуть существует, ибо лирический герой задается вопросом: останется или нет он в сетке до восхода солнца. Таким образом, положение в сетке не является истинным. Можно сказать, что отрицание неопределенности заключает в себе смерть и потому является ложным. Цикл гибели и возрождения здесь не предвидится.

Импликация

Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически даёт построение q. Например, из истинности высказывания p следует «неверно, что p ложно». Но из утверждения «неверно, что p ложно» ещё не следует, что p — истинно, так как высказывание p может оказаться неконструктивным.