Дискретизация сигналов.

 

Дискретизация по времени должна производиться так, чтобы при обработке сигнала по отсчетным значениям можно было воспроизвести функцию , отличающуюся от исходной функции в заданных пределах:

, (1.22)

где – погрешность дискретизации, т.е. погрешность восстановления сигнала .

Выбор критерия оценки погрешности дискретизации сигнала зависит от назначения системы, использующей дискретизированный сигнал.

Наиболее часто отклонение воспроизводимой функции от сигнала на интервале дискретизации оценивается следующими критериями:

 

– критерий наибольшего отклонения

, (1.23)

где – текущая погрешность, определяемая выражением (1.22);

 

– среднеквадратичный критерий

, (1.24)

где черта сверху означает усреднение по вероятностному множеству;

– интегральный критерий

; (1.25)

 

– вероятностный критерий

, (1.26)

где – допустимое значение погрешности; – допустимая вероятность того, что погрешность не превысит значения .

Более подробно критерии оценки погрешности дискретизации рассмотрены в .

В соответствии с признаком регулярности отсчетов выделяют равномерную и неравномерную дискретизацию. Дискретизация называется равномерной, если на всем отрезке обработки сигнала

.

Методы равномерной дискретизации применяются наиболее часто благодаря простоте как алгоритмов, так и аппаратуры дискретизации и восстановления сигнала.

Выбор частоты равномерной дискретизации часто осуществляется на основании теоремы В.А. Котельникова, сформулированной им применительно к передаче сигналов по каналам связи.

Теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал , имеющий спектр частот от 0 до , полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, зафиксированных через равные интервалы времени , и описывается выражением:

. (1.27)

Доказательство теоремы Котельникова приводится в работах и .

Выражение (1.27) носит название ряда Котельникова и представляет собой разложение непрерывной функции по системе ортогональных функций вида . Множители называются отсчетами функции и представляют собой мгновенные значения непрерывного сигнала в дискретные моменты времени . Множитель , где , называется функцией отсчетов.

По физическому смыслу каждое слагаемое ряда Котельникова представляет собой отклик идеального фильтра нижних частот с частотой среза на короткий импульс, приходящий в момент времени и имеющий площадь, пропорциональную мгновенному значению функции в тот же момент времени. Отсюда следует, что для передачи сигнала с ограниченным спектром по каналу связи, необходимо через равные интервалы взять отсчеты мгновенных значений и передать по каналу связи короткие импульсы, площади которых пропорциональны этим отсчетам. На приемном конце эти импульсы нужно пропустить через фильтр нижних частот и тем самым восстановить исходный сигнал как сумму откликов фильтра. Значение всей суммы в момент времени определяется только -м слагаемым, так как все остальные слагаемые обращаются в нуль. Внутри промежутка времени значения непрерывного сигнала определяются всеми слагаемыми.

Теорема Котельникова, как следует из определения, относится к сигналам с ограниченным спектром и, следовательно, к сигналам с неограниченной длительностью. Реальные же сигналы, используемые для передачи информации, имеют конечную длительность , а это значит, что они имеют бесконечно широкий спектр частот. Тем не менее, можно предположить, что вне интервала времени реальный непрерывный сигнал также имеет место, но все его мгновенные значения лежат ниже некоторого уровня, ограниченного чувствительностью устройства обработки информации. Это позволяет считать спектры реальных сигналов ограниченными. Однако просуммировать бесконечное число слагаемых, входящих в (1.27), не представляется возможным. Ограничение же числа слагаемых значением приводит к появлению ошибки воспроизведения сигнала:

. (1.28)

Величина этой ошибки равна нулю в точках отсчета и достигает максимума в середине интервала дискретизации.