Первый способ (метод множителей Лагранжа)

Обозначив φ(x,y)=x+y составим функцию Лагранжа: F(x,y)=z(x,y)+λφ(x,y)=3y3+4x2−xy+λ(x+y).

∂F∂x=8x−y+λ;∂F∂y=9y2−x+λ

Решив систему, получим: x1=0, y1=0, λ1=0 и x2=109, y2=−109, λ2=−10. Имеем две стационарные точки: M1(0;0) и M2(109;−109). Выясним характер экстремума в каждой стационарной точке с использованием определителяH.

В точке M1(0;0)H=−10−18⋅0=−10<0, поэтому M1(0;0) есть точка условного минимума функции z(x,y)=3y3+4x2−xy, zmin=0. В точке M2(109;−109)H=10>0, посему в данной точке функция имеет условный максимум, zmax=500243.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке d2F:

d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2=8dx2−2dxdy+18ydy2

Из уравнения связи x+y=0 имеем: d(x+y)=0, dx+dy=0, dy=−dx.

d2F=8dx2−2dxdy+18ydy2=8dx2−2dx(−dx)+18y(−dx)2=(10+18y)dx2

Так как d2F∣∣M1=10dx2>0, то M1(0;0) является точкой условного минимума функции z(x,y)=3y3+4x2−xy. Аналогично, d2F∣∣M2=−10dx2<0, т.е. M2(109;−109) – точка условного максимума.