Достаточное условие экстремальности точки

Если в точке х₀:

а) производная равна нулю или не существует;

б) при переходе через точку изменяется знак производной, то точка х₀ - экстремальная.

Если производная изменяет знак с плюса на минус, то точка х₀ - точка максимума, если с минуса на плюс, то х₀ - точка минимума.

Например, найти экстремальные точки функции .

Область определения Д = (-¥, +¥).

Найдем производную: .

Производная равна нулю при х = 2. Производная не существует при х = 1 и

х = 3. Эти точки разбивают область определения на интервалы (-¥, 1), (1, 2), (2, 3), (3, + ¥). На этих интервалах производная сохраняет свой знак, а при переходе через рассматриваемые точки может изменять знак. Дальнейшие исследования можно оформить в виде таблицы:

х	(-¥, 1)		(1, 2)		(2, 3)		(3, + ¥)
f¢(x)	-	не сущ.	-	0	+	не сущ.	+
f(x)	î	0	î	-1	ì	0	ì
				min

Из этой таблицы видно, что на интервалах (-¥, 1) и (1, 2) f¢(x) < 0 (на этих интервалах функция убывает), на интервалах (2, 3) и (3, + ¥) f¢(x) > 0 ( на этих интервалах функция возрастает), при переходе через точку 2 производная изменяет знак с “-“ на “+”, следовательно, точка 2 - точка минимума функции.