Оценка погрешности .

Для получения выражения остаточного члена, которое позволяет установить оценку погрешности, используется тот же прием последовательного дифференцирования, а затем интегрирования, что применялся в предыдущем случае. Введем обозначение . Последовательно получаем:

,

Теперь интегрируем по , учитывая что , и применяя каждый раз теорему о среднем:

Наконец

(72)

Отсюда, кстати, следует, что для многочленов до 3 - й степени включительно. Из (72) получаем оценку погрешности формулы Симпсона:

, где (73)

Разбивая промежуток на равных частей точками , и применяя формулу (71) к каждому из частичных промежутков длины , получаем обобщенную формулу Симпсона:

Оценка погрешности этой формулы следует из (72):

(74)