Решение уравнения теплопроводности методом Тейлора

 

Задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид

(139)

(140)

где – неизвестная функция, – заданы.

Разложим функцию при любом фиксированном в ряд Тейлора по времени относительно точки t=0 (ряд Маклорена)

(141)

Если найти коэффициенты , то по формуле (141) получим решение. Заметим, что определяется из начального условия (140).

Разложим в ряд Маклорена функцию в правой части уравнения (139)

(142)

Поскольку функция задана, то все могут быть найдены.

Выражения для частной производной и оператора Лапласа в уравнении (139), следуют из (141)

(143)

Подставим (142) и (143) в уравнение (139). В результате получим равенство

Это равенство равносильно соотношениям

(144)

которые определяют коэффициенты и так далее через , заданную в начальном условии (140).

Таким образом, решение задачи Коши (139)–(140) выражается формулой:

(145)

где задана в (140), а остальные находятся по (144)

(146)

 

 

Пример 16. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (146) Отсюда находим

То есть, все остальные

Подставляем полученные в решение (145)

или

▲

 

Пример 17. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (146)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (145)

или

▲