Вычисление приближенных координат пунктов
При редуцировании угловых измерений на плоскость в конформной проекции Гаусса–Крюгера необходимо в направления, приведенные к центрам пунктов, ввести поправки за кривизну изображения геодезических линий на плоскости. Для получения их значений используются координаты всех пунктов сети, которые нужно знать с точностью до целых метров. В связи с этим вычислим приближенные координаты определяемых пунктов сети по известным формулам решения прямых геодезических задач.
(8)
С целью контроля, вычисления приближенных координат выполняются дважды по сторонам треугольника, углы в которых не содержат невязок (табл. 6),
Таблица 6. Вычисление приближенных координат пунктов
| Формулы | i | С | Б | С | Т |
| k | T | T | |||
| αисх | 137° 33' 50" | 317° 33' 50" | 205° 12' 40" | 25° 12' 40" | |
| ±β | +67 38 50 | –36 27 50 | +50 17 20 | –77 38 30 | |
| αi k | 205 12 40 | 281 06 00 | 255 30 00 | 307 34 10 | |
| Xk | 6 192 659 | 6 192 659 | 6 200 200 | 6 200 200 | |
| Xi | 6 204 132 | 6 188 860' | 6 204 132 | 6 192 659 | |
| ΔXi k | –11 473 | +3 799 | –3 932 | +7 541 | |
| cosαi k | –0,90474 | 0,19252 | –0,25038 | 0,60972 | |
| S | 12 681 | 19 734 | 15 705 | 12 368 | |
| sinαi k | –0,42595 | –0,98129 | –0,96815 | –0,79261 | |
| ΔYi k | –5 401 | –19 365 | –15 205 | –9 803 | |
| Yi | 15 515 205 | 15 529 167 | 15 515 205 | 15 509 803 | |
| Yk | 15 509 804 | 15 509 802 | 15 500 000 | 15 500 000 |
| Формулы | i | З | С | З | С |
| k | М | М | Т | Т | |
| αисх | 75°29′56,56″ | 205° 12′45″ | 75° 29′56,56″ | 137° 33′54,61″ | |
| ±β | 103 39 48 | 29 12 09 | 52 04 10 | 67 38 50 | |
| αi k | 179 09 45 | 234 24 54 | 127 34 07 | 205 12 45 | |
| Xk | 6193325,00 | 6192659,00 | 6192660,00 | ||
| Xi | 6204133,00 | 6204133,00 | |||
| ΔXi k | -6875 | -10808,00 | -7541,00 | -11473,00 | |
| cosαi k | -0,999893172 | -0,58 | -0,61 | -0,90 | |
| S | 18573,00 | 12368,00 | 12681,00 | ||
| sinαi k | 0,014616612 | -0,81 | 0,79 | -0,43 | |
| ΔYi k | -15105,00 | 9803,00 | -5402,00 | ||
| Yi | 11515205,00 | 11515205,00 | |||
| Yk | 11500100,00 | 11509803,00 | 11509803,00 |
Расхождения в полученных координатах одноименных пунктов не должны превышать 2 м.
1.5. Вычисление поправок в направления за кривизну изображения
геодезических линий на плоскости и их контроль
Поправки в направления за кривизну изображения геодезических линий на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера для сетей, соответствующих точности угловых измерений в триангуляции 2–3 классов, вычисляются по следующим формулам:
(9)
где i, k – наименование направлений соответствующих наблюдаемым пунктам сети;
х, у – координаты пунктов сети, выраженные в километрах с учетом размерности f,
Величина (1/3f) для данной сети равна 0,000843 ("/км2). При вычислении поправок δi k, δk i необходимо обратить внимание на значения ординат у, данных в условной системе, Для получения их истинных значений, отсчитываемых от осевого меридиана зоны в разные стороны в проекции Гаусса–Крюгера, необходимо исключить номер зоны и вычесть постоянную величину, равную 500 км, вводимую в условную ординату для исключения отрицательных значений у. Так, например, для пункта С:
условная система – y = 15 515204, 69 м,
истинное значение – y = +15,205 км,
Поправки δ вычисляют с точностью до 0, 001" (табл. 7), а в сводке направлений округляют до 0,01" (табл. 9),
Контроль вычислений поправок производят по сферическим избыткам треугольников и вычисленным поправкам в углы треугольников, определяемых в соответствии с рис. 3.
Таблица 7. Вычисление поправок за кривизну изображения сторон на плоскости
| Формулы | i | З | З | З | С | С | С | Б | Т |
| k | С | Т | М | Б | Т | М | Т | М | |
| Xi | 6 200 | 6 200 | 6 200 | 6 204 | 6 204 | 6 204 | 6 189 | 6 193 | |
| Xk | 6 204 | 6 193 | 6 193 | 6 189 | 6 193 | 6 193 | 6 193 | 6 193 | |
| Xi–Xk | -3,932 | 7,540 | 6,875 | 15,272 | 11,472 | 10,807 | -3,800 | -0,665 | |
| Yi | 0,000 | 0,000 | 0,000 | 15,205 | 15,205 | 15,205 | 29,167 | 9,803 | |
| Yk | 15,205 | 9,803 | 0,101 | 29,167 | 9,803 | 0,101 | 9,803 | 0,101 | |
| 2Yi + Yk | 15,205 | 9,803 | 0,101 | 59,577 | 40,213 | 30,511 | 68,137 | 19,707 | |
| δik | -0,050 | 0,062 | 0,001 | 0,767 | 0,389 | 0,278 | -0,218 | -0,011 | |
| 2Yk+Yi | 30,410 | 19,606 | 0,202 | 73,539 | 34,811 | 15,407 | 48,773 | 10,005 | |
| δki | 0,101 | -0,125 | -0,001 | -0,947 | -0,337 | -0,140 | 0,156 | 0,006 |
Рисунок 3. Схема вычисления поправок в углы
Вершины треугольников нумеруются по ходу часовой стрелки. В этом случае поправки в углы при соответствующих вершинах находятся как разности поправок правого и левого направлений:
(10)
Сумма поправок в углы δ1 в каждом треугольнике должна быть равна сферическому избытку ε, взятому с обратным знаком, т.е.
Σδ1 = – ε (11)
Контроль вычисления поправок в углы приведен в табл. 8. Расхождение в их значениях не должно превышать ошибки вычисления, равной 0,001".
Таблица 8. Контроль вычисления поправок δi k
| N треуг. | Название вершин | δ1" | δ2" | δ3" | Σδi" | Сферический избыток ε" |
| Т С Б | 0,493 | -0,378 | -0,728 | -0,614 | 0,614 | |
| М С Т | 0,146 | -0,111 | -0,326 | -0,291 | 0,291 | |
| З М С | 0,051 | -0,139 | -0,177 | -0,265 | 0,265 | |
| Т З С | -0,212 | 0,113 | -0,288 | -0,387 | 0,388 |
1.6. Составление сводки направлений, приведенных
к центрам пунктов и редуцированных на плоскость
Полученные значения поправок со своими знаками вводят в измеренные направления, приведенные к центрам пунктов. Результатом данных вычислений является сводка измеренных направлений на плоскости в проекции Гаусса–Крюгера (табл. 9).
Таблица 9. Сводка измеренных направлений на плоскости.
| Направления | Направления, прив. к центрам пунктов | δi k" | (δi k)"o | Направления на плоскости | ||||
| 3–С | 0° | 0′ | 0,00″ | -0,050 | 0,000 | 0° | 0′ | 0,00″ |
| Т | 8,74 | 0,062 | 0,113 | 8,85 | ||||
| М | 48,29 | 0,001 | 0,051 | 48,34 | ||||
| С–Б | 0,00 | 0,767 | 0,000 | 0,00 | ||||
| Т | 49,49 | 0,389 | -0,378 | 49,11 | ||||
| М | 59,20 | 0,278 | -0,489 | 58,71 | ||||
| 4,80 | 0,101 | -0,666 | 4,13 | |||||
| Б–Т | 0,00 | -0,218 | 0,000 | 0,00 | ||||
| С | 53,65 | -0,947 | -0,728 | 52,92 | ||||
| Т–М | 0,00 | -0,011 | 0,000 | 0,00 | ||||
| 46,41 | -0,125 | -0,114 | 46,30 | |||||
| С | 21,92 | -0,337 | -0,326 | 21,59 | ||||
| Б | 39,00 | 0,156 | 0,167 | 39,17 | ||||
| М–З | 0,00 | -0,001 | 0,000 | 0,00 | ||||
| С | 3,86 | -0,140 | -0,139 | 3,72 | ||||
| Т | 33,22 | 0,006 | 0,007 | 33,23 |
return false">ссылка скрыта
Сводка редуцированных на плоскость направлений является исходным материалом для уравнительных вычислений и оценки качества выполненных измерений по значениям свободных членов, возникающих в сети, условных уравнений. С целью контроля правильности введения поправок δ в каждое направление и приведения их к начальному по полученным плоским направлениям повторно вычислим значения невязок треугольников (табл. 10),
W = Σ βi – 180° (12)
Таблица 10. Контроль вычисления невязок треугольников по плоским углам
| N тр | N вершин | Измеренные плоские углы βi ' " | Невязки W" | ||
| Т | 17,58 | -0,39 | |||
| С | 49,11 | ||||
| Б | 52,92 | ||||
| ∑βi | 59,61 | ||||
| М | 29,51 | 0,70 | |||
| С | 9,60 | ||||
| Т | 21,59 | ||||
| 0,70 | |||||
| З | 48,34 | -2,52 | |||
| М | 3,72 | ||||
| С | 5,42 | ||||
| 57,48 | |||||
| Т | 35,29 | -0,84 | |||
| З | 8,85 | ||||
| С | 15,02 | ||||
| 59,16 |
Величина расхождений с ранее полученными значениями невязок не должна превышать точности вычислений, равной 0, 01".