Расчет характеристик виброзащитной системы

Виброизолятор, как любое упругое тело, при деформации несет потенциальную энергию деформирования П. В виброизоляторе также, как правило, существует трение, благодаря которому рассеивается энергия колебаний. При колебаниях направление деформирования виброизолятора меняется, при этом изменяется также направление силы трения, поэтому в координатах «перемещение - реакция виброизолятора » процесс нагрузки виброизолятора не совпадает с процессом его разгрузки. Эти процессы вместе образуют петлю гистерезиса виброизолятора, площадь которой равна энергии, рассеиваемой за один цикл деформации виброизолятора (рис. 17.1).

Рис. 17.1. Петля гистерезиса виброизолятора

 

По петле гистерезиса легко определить экспериментально коэффициент рассеивания энергии виброизолятора

. (17.2)

Рассмотрим случай возбуждения колебаний в направлении k-ой оси переменной гармонической силой с амплитудой и частотой («силовое» возбуждение). В этом случае дифференциальное уравнение движения линейной виброзащитной системы имеет вид

(17.3)

Здесь - жесткость системы, - перемещение, - коэффициент демпфирования, все параметры в направлении k-ой оси, t - время. Это уравнение можно преобразовать в вид

, (17.4)

где , и - частота собственных колебаний системы.

Общее решение этого уравнения имеет вид

,

где - сдвиг фазы колебаний системы относительно колебаний внешней силы. Первые два слагаемых описывают свободные колебания системы, которые быстро прекращаются вследствие действия трения. Подставим в уравнение (17.4) только третье слагаемое решения, описывающее вынужденные колебания. Заменим также

. Получим

(17.5).

Это уравнение должно выполняться при любом значении t. Поэтому коэффициенты при и должны быть равны между собой.

и (17.6).

Возведем оба уравнения (17.6) в квадрат и сложим.

,

отсюда амплитуда вынужденных колебаний

. (17.7)

Если учесть , получим

. (17.8)

Если , то . Это случай статической деформации.

Амплитуда колебаний максимальна при . В этом случае амплитуда колебаний равна . Это случай резонанса. Величину

называют коэффициентом демпфирования.

Коэффициент усиления колебаний на резонансе

. (17.9)

Коэффициент передачи вибрации на любой частоте

. (17.10)

Максимальное ускорение при резонансе

. (17.11)

В случае, если источником колебаний является перемещение основания с амплитудой («кинематическое» возбуждение колебаний), уравнение (17.3) принимает вид

, (17.12)

где

(17.13)

- перемещение центра масс системы в абсолютных координатах ( в этом случае – относительное перемещение). После дифференцирования и деления на m уравнение (17.12) принимает вид

(17.14).

Решение аналогично (17.4). С учетом (17.13) амплитуда деформации виброизолятора

, (17.15)

откуда коэффициент передачи вибрации

. (17.16)

На резонансе амплитуда деформации равна

. (17.17)

Амплитуда абсолютного ускорения на резонансе

. (17.18)

Резонансная частота виброзащитной системы с учетом демпфирования равна

. (17.19)

Из (17.14) – (17.18) видно, что отличие «силового» и «кинематического» возбуждения связано с величиной . Для большинства виброзащитных систем < 0.1, поэтому различие результатов невелико.

Линейная система имеет петлю гистерезиса в виде эллипса. Петли гистерезиса многих виброизоляторов (особенно сухого трения) имеют другую форму. Чтобы иметь возможность использовать для расчета таких систем уравнения (17.3) или (17.14), применяется линеаризация – определяется эквивалентный коэффициент демпфирования , при котором площадь петли гистерезиса виброизолятора равна площади эллиптической петли с такими же амплитудой деформации и .

При подстановке в (17.3) решения видно, что максимальная сила трения равна . Площадь эллиптической петли гистерезиса с амплитудой деформации в этом случае равна .

Потенциальная энергия деформированного до амплитуды упругого тела равна

. В таком случае коэффициент рассеивания энергии

.

Значение коэффициента рассеивания энергии любого виброизолятора можно определить по его петле гистерезиса по уравнению (17.2). Тогда эквивалентный коэффициент демпфирования

(17.20)

Поскольку , то . В случае резонанса ( )

и амплитуда колебаний равна .

Если агрегат установлен на n виброизоляторов, вместо следует использовать суммарную жесткость виброзащитной системы в направлении k-ой оси , где - жесткость i-того виброизолятора в направлении этой же оси.

Если пренебречь трением, коэффициент передачи вибрации на частоте равен

. (17.21)

Видно, что ослабление вибрации ( ) происходит в случае и будет тем больше, чем больше различие и . Диапазон частот после называется диапазоном вибрационной защиты. Однако чрезмерное уменьшение для его увеличения (т.е. суммарной жесткости виброзащитной системы) недопустимо, так как мягкая виброзащитная система будет иметь амплитуду колебаний на резонансе, превышающую предельно допустимую. Чрезмерной будет и деформация системы под действием статической нагрузки . Поскольку , получаем . Так, например, чтобы обеспечить собственную частоту объекта 10 Гц, необходимо разместить его на виброизоляторах такой жесткости, чтобы их статическое перемещение составляло 2,5 мм. При собственной частоте 5 Гц статическое перемещение виброизоляторов будет составлять 10 мм, а для собственной частоты объекта в 1 Гц необходимы виброизоляторы с перемещением 250 мм, что невозможно по соображениям как компоновки агрегатов, так и конструкции виброизоляторов.

Из анализа уравнения (17.10) для коэффициента передачи вибрации с учетом трения видно, что при слишком больших значениях ослабление виброизолятором вибрации в диапазоне вибрационной защиты очень мало, и виброзащитная система неэффективна. Но при слишком малых значениях будет велика амплитуда колебаний виброзащитной системы на резонансе, и защищаемый агрегат может выйти из строя при прохождении резонанса.

Силы трения целесообразно учитывать, если выполняется условие

≥0,05 . (17.22)

Жесткость виброизолятора может быть так же, как и коэффициент рассеивания энергии, экспериментально определена по петле гистерезиса. Если максимальная и минимальная деформация виброизолятора в направлении k-ой оси и , максимальная и минимальная реакция и соответственно (рис. 17.1), то

. (17.23)

Поскольку жесткость и коэффициент рассеивания энергии виброизолятора зависят от формы петли гистерезиса, они в общем случае нелинейных характеристик виброизолятора зависят от амплитуды деформации виброизолятора и от деформации виброизолятора под действием статической нагрузки.