КОЛЕБАНИЯ ДИСКА РАБОЧЕГО КОЛЕСА

Диск будем рассматривать как круглую пластину переменной толщины в рамках модели Тимошенко. Для пластины в цилиндрической системе координат:

, (15.1)

, (15.2)

, (15.3)

, (15.4)

, (15.5)

где D – цилиндрическая жесткость, k учитывает характер распределения напряжений.

- крутящий момент, который образуется от касательных напряжений на площадке с нормалью r. - погонная перерезывающая сила, которая возникает от касательных напряжений. Она действует в направлении оси Z на площадке с нормалью r. - скручивающий момент, который возникает от нормальных напряжений на площадке с нормалью . - крутящий момент от касательных напряжений на площадке с нормалью . - погонная перерезывающая сила от касательных напряжений , действующая в направлении оси Z на площадке с нормалью .

Выделим элемент диска двумя радиальными плоскостями, расположенными под углом , и двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и dr (рис.15.1).

Рис.15.1. Бесконечно малый элемент диска и действующие на него динамические силы

Получим систему дифференциальных уравнений, описывающую колебания диска, из рассмотрения уравнений (15.1) – (15.5) и условий равновесия элемента диска.

Из (15.1) (также умножив и разделив на r) получим

. (15.6)

Из (15.3) получим

(15.7)

Из (3.2)

(15.8)

Преобразуем (15.4), подставив из (15.6):

(15.9)

Сила инерции

(15.10)

Рассмотрим равновесие элемента. Проекции сил на ось Z:

(15.11)

Преобразуем

(15.12)

С учетом (15.12), (15.11) примет вид

Поделив на , получим

. (15.13)

Продифференцируем (15.5) по :

Подставив это в (15.13), получим

(15.14)

Сумма моментов относительно оси r :

Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, полагая и , получаем

Разделив на и учтя = , а также умножив и разделив на r, получим:

Подставив и из (15.9) и (15.5), получим

(15.15)

Проекции моментов на окружное направление:

Раскроем скобки аналогично (15.12):

Разделив на , а также умножив и разделив на r, получим:

Подставив из (15.9), получим

. (15.16)

Уравнения (15.8), (15.6), (15.7), (15.14), (15.16), (15.15) образуют систему (15.17) относительно 6 переменных

, , , , , .

(15.17)

Решение системы (15.17) должно быть периодическим по .

Поэтому решение будем искать в виде:

(15.18)

Здесь p – собственная частота, t – время, - сдвиг фазы колебаний.

Подставив (15.18) в (15.17), взяв производные по и сократив на , получим систему дифференциальных уравнений первого порядка.

(15.19)

Общее решение системы имеет вид

где - любые линейно независимые частные решения (15.19).

Частные решения находим численным методом. На радиусе начала интегрирования примем

……………..

Постоянные определим из граничных условий.

Рассмотрим определение собственных частот колебаний диска переменного сечения, закрепленного на внутреннем радиусе и свободного на периферии .

Граничные условия на радиусе :

, , .

, отсюда .

Аналогично получаем .

Граничные условия на радиусе :

, , . Из этого получаем систему уравнений:

(15.20)

Система имеет решения, если ее определитель равен нулю.

Приведем алгоритм расчета собственных частот колебаний диска:

1. Задается m=0.

2. Принимается начальная частота колебаний .

3. Интегрируется три раза система (15.19) с начальными значениями

4. Вычисляется определитель системы (15.20) и сравнивается со значением на предыдущем шаге. Если его знак изменился, перейти к п.6. Если не изменился – к п.5.

5. Частота увеличивается на шаг . Перейти к п.3.

6. Меняется шаг . Перейти к п.5.

7. Дробление шага продолжается до тех пор, пока не выполнится (погрешности расчета).

8. Определяется собственная частота .

9. Принимается начальная частота . Перейти к п.3.

10. Если найдены все собственные частоты колебаний для заданного m (в пределах рассматриваемого диапазона частот), то m= m+1. Перейти к п. 1.

После расчета собственных частот рассчитываются собственные формы колебаний диска. В выражении первые два сомножителя определяют распределение амплитуды колебаний по диску.

При m=0 амплитуды во всех точках окружности одинаковы.

При m=1 имеются две линии, на которых амплитуда колебаний равна нулю. Эти линии образуют узловой диаметр (рис. 15.2).

Рис.15.2. Колебания диска с узловыми диаметрами и узловыми окружностями

При m=2 имеются четыре линии, на которых амплитуда колебаний равна нулю. Эти линии образуют два узловых диаметра. И т.д.

Функция также может менять знак по радиусу диска. При n=0 все значения в один и тот же момент времени имеют одинаковый знак. Амплитуды колебаний с ростом m в центре убывают. При большом значении m колеблется только обод диска.

При n=1 функция имеет одну перемену знака по радиусу диска. При этом появляется узловая окружность (см. рис. 15.2). При n=2 функция имеет две перемены знака по радиусу диска. При этом появляются две узловых окружности. И т.д.

Формы колебаний с m=0 и различным количеством узловых окружностей называют зонтичными.

С увеличением m и n частота колебаний растет, за единственным исключением:

Формы колебаний диска можно представить в виде таблицы (рис.15.3).

Рис. 15.3. Таблица форм колебаний центрально закрепленного диска

Удобно представить частоты колебаний в виде единого графика в зависимости от количества узловых диаметров m. Такой график называют спектром колебаний диска (рис. 15.4).

Рис. 15.4. Спектр колебаний диска

Поскольку лопатки увеличивают массу на ободе диска, собственные частоты колебаний диска с лопатками уменьшаются. Узловые диаметры могут проходить только между лопатками, поэтому их количество у диска с лопатками не бесконечно, а ограничено числом z/2, если количество лопаток z четное, и (z-1)/2, если количество лопаток нечетное.

Узловые окружности зонтичных форм колебаний диска с лопатками могут проходить по лопаткам (рис. 15.5).

Рис. 15.5. Форма колебаний диска с лопатками

Все незонтичные (m>1) формы колебаний являются парными. Кроме решения (15.18) существует решение

(15.21)

Его подстановка в систему (15.17) приводит к системе, аналогичной (15.19). Частоты колебаний при этом будут те же самые, но распределение смещений будет сдвинуто на 1/4 волны, то есть на угол . Парные формы колебаний не зависят друг от друга. Пусть

где , , , - соответственно, амплитуды и сдвиги фаз, которые зависят от начальных условий, - распределение смещений по радиусу диска ( . При колебаниях диска возбуждаются обе парные формы, результатом является их суперпозиция. Рассмотрим частные случаи.

1. . Результирующее движение

Здесь , .

Видно, что диск имеет m узловых диаметров. Их положение определяется из условия

при . Отсюда

Положение узловых линий в этом случае не зависит от времени. Это – колебания со стоячими волнами.

Положение узловых линий зависит от соотношения и , которое зависит от начальных условий и может быть любым – следовательно, положение узловых линий произвольное.

2. Пусть = =D, возбуждение колебаний приложено к точке 1 диска и перемещается по окружности (рис. 15.6). Для формы m=1 узловая линия имеет вид диаметра. Если для формы она проходит через точку 1, форма возбуждаться не будет (энергия передается посредством работы, а работа при нулевом перемещении равна нулю). Будет возбуждаться перпендикулярная узловая линия формы . Когда источник возбуждения колебаний перейдет в точку 3 (под углом 90⁰), перестанет возбуждаться форма , но появится форма . При положении источника в промежуточной точке 2, возбуждается суперпозиция форм и , линия, противоположная точке 2.