Геометрические характеристики сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади). Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; S_y=∫_AZdA, аналогично S_z=∫_AydA [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Z_{центра тяжести}• Α, Sz=У_ц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,y_ц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

J_z=∫_Ay²dA-момент инерции относительно оси z

J_y=∫_Az²dA-момент инерции относительно оси y [M⁴],[CM⁴]

b)Центробежный момент инерции.

Главные оси плоской фигуры –J_zy=∫_Az_ydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

J_ρ=∫_Aρ²dA={ρ²=z²+y²}=∫_Az²dA+∫_Ay²dA=J_y+J_z

 

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

J_z=∫_Fy²dF-момент инерции относительно оси z

J_y=∫_Fz²dF-момент инерции относительно оси y

J_yz=∫_FzydF

Определим моменты инерции относительно осей, параллельных центральным;

J_y1z1=∫Fz₁y₁dF

J_y1=∫_Fz²₁dF

J_z1=∫_Fy²₁dF

Координаты любой точки в новой системе z₁O₁y₁ можно выразить через координаты в старых осях так;

z₁=z+b, y₁=y+a

Подставляем эти значения в формулы (те которые выше) и интегрируем почленно;

J_z1=∫_Fy²₁dF=∫_F(y+a)²dF= =∫_Fy²dF+a²∫_FdF+2a∫_FydF

J_y1=∫_Fz²₁dF=∫_F(z+b)²dF= =∫_Fz²dF+b²∫_FdF+2b∫_FzdF

J_y1z1=∫_Fz₁y₁dF=∫_F(z+b)(y+ +a)dF+ab∫_FdF+a∫_FzdF+b· ·∫_FydF

Так как интегралы ∫_FdF= =S_Z,∫_FzdF=S_y равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы принимают вид;

J_Z1=J_Z+a²F

J_y1=J_y+b²F

J_z1y1=J_zy+abF

Cследовательно; 1) моменты инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллель- ной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат рас- стояния между этими осями. 2)центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс, произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

Р.S.Координаты а,b, входящие в формулу следует подставлять с учетом их знака.