Геометрические характеристики сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади). Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

Статический момент площади А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; Sy=∫AZdA, аналогично Sz=∫AydA [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Zцентра тяжести• Α, Sz=Уц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,yц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

Jz=∫Ay2dA-момент инерции относительно оси z

Jy=∫Az2dA-момент инерции относительно оси y [M4],[CM4]

b)Центробежный момент инерции.

Главные оси плоской фигуры –Jzy=∫AzydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

Jρ=∫Aρ2dA={ρ2=z2+y2}=∫Az2dA+∫Ay2dA=Jy+Jz

 

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

Jz=∫Fy2dF-момент инерции относительно оси z

Jy=∫Fz2dF-момент инерции относительно оси y

Jyz=∫FzydF

Определим моменты инерции относительно осей, параллельных центральным;

Jy1z1=∫Fz1y1dF

Jy1=∫Fz21dF

Jz1=∫Fy21dF

Координаты любой точки в новой системе z1O1y1 можно выразить через координаты в старых осях так;

z1=z+b, y1=y+a

Подставляем эти значения в формулы (те которые выше) и интегрируем почленно;

Jz1=∫Fy21dF=∫F(y+a)2dF= =∫Fy2dF+a2FdF+2a∫FydF

Jy1=∫Fz21dF=∫F(z+b)2dF= =∫Fz2dF+b2FdF+2b∫FzdF

Jy1z1=∫Fz1y1dF=∫F(z+b)(y+ +a)dF+ab∫FdF+a∫FzdF+b· ·∫FydF

Так как интегралы ∫FdF= =SZ,∫FzdF=Sy равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы принимают вид;

JZ1=JZ+a2F

Jy1=Jy+b2F

Jz1y1=Jzy+abF

Cследовательно; 1) моменты инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллель- ной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат рас- стояния между этими осями. 2)центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс, произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

Р.S.Координаты а,b, входящие в формулу следует подставлять с учетом их знака.