Некоторые сведения из квантовой статистики

 

Одним из важнейших «объектов» изучения квантовой статистики, как и классической, является идеальный газ. Это связано с тем, что во многих случаях реальную систему, состоящую из фермионов (частиц с полуцелым спином) или бозонов (частиц с нулевым или целым спином) можно считать идеальным газом.

Идеальный газ с целым спином описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Распределение бозонов (или иначе бозе-частиц) по энергиям имеет вид

 

. (2.1)

 

В (2.1) – вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято, к – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, μ – химический потенциал (он равен приращению внутренней энергии изолированной системы постоянного объема при изменении числа частиц на единицу).

Идеальный газ частиц с полуцелым спином описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака. Распределение фермионов (или иначе ферми-частиц) по энергиям имеет вид

 

, (2.2)

 

где – вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е занято ферми-частицей (электроном), μ – химический потенциал.

Если , то распределение Бозе-Эйнштейна (2.1) и Ферми-Дирака (2.2) переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана:

 

, (2.3)

 

где .

Условие соответствует тому, что , а это может быть при высоких температурах. Отсюда делаем вывод, что при высоких температурах оба «квантовых» газа по своим свойствам подобны классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если её свойства существенным образом отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике.

Поведение как бозе-газа, так и ферми-газа отличается от поведения классического газа, они являются вырожденными газами. Вырождение газа становится существенным при весьма низких температурах и больших плотностях.

Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А:

 

. (2.4)

 

Функция распределения с помощью параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется так:

 

. (2.5)

Если параметр вырождения мал А << 1, то и функция распределения (2.5) превращается в функцию Максвелла-Больцмана, лежащую в основе классической статистики невырожденного газа:

 

. (2.6)

 

Температурой вырождения Т₀ называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, т.е. Т₀ – температура, при которой вырождение становится существенным. Если Т >> Т₀, то систему частиц можно рассматривать как систему, подчиненную классическим законам.