Дискретное вейвлет-преобразование непрерывных сигналов
Теорема Котельникова позволяет осуществлять полное восстановление временного сигнала с ограниченным спектром по дискретному набору отсчётов. Подобных результатов можно достигнуть и в области вейвлет-преобразований.
Непрерывное вейвлет-преобразование требует больших вычислительных затрат при его проведении. Поэтому для практического его применения необходима дискретизация значений a и b. Обычно σ = 2, а β = 1, тогда a = 2j и b = k 2j (j,kÎZ).
При дискретных значениях a и b вейвлет-функция может быть представлена в виде:
Ψj,k= . (5)
Поэтому прямое дискретное вейвлет-преобразование (ПДВП) сводится к вычислению коэффициентов C(a,b) по формуле (3), но с подстановкой дискретных a и b, тогда формула приобретёт вид:
C(j,k) = dj,k = . (6)
Здесь C(j,k) = dj,k – детализирующие коэффициенты для вейвлет-декомпозиции сигнала уровня k. Эти коэффициенты в этом случае дискретны.
Обратное дискретное вейвлет-преобразование (ОДВП) для непрерывных сигналов задаётся формулой:
(7,а)
Часто осуществляют нормировку базовой функции в частотной области Cψ = 1. При этом окончательная формула реконструкции сигнала записывается в виде:
(7,б)
Теоретически доказано, что для ортогональных вейвлетов возможно точное восстановление сигнала, именуемое реставрацией, после прямого и инверсного дискретного вейвлет-преобразований с использованием дополнительной аппроксимации сигнала с помощью phi-функции. В ином случае восстановление даёт близкий к исходному сигналу s(t) приближённый сигнал, т.е. минимум среднеквадратической погрешности восстановления.