Нахождение оригинала по заданному изображению (когда оно рационально)

 

Предыдущие выкладки показывают, что если - какая-нибудь правильная рациональная дробь, разложение которой на простейшие дроби есть

то

(21.20)

будет оригиналом, имеющим изображение .

В частности, если все полюсы - простые, то

; ,

и для оригинала, имеющего изображение , получим формулу

(21.21)

Заметимеще, что если

(21.22)

то соответствующим оригиналом будет

(21.23)

Таким образом, нахождение оригинала по заданному рациональному изображению сводится к разложению правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

 

Пример 21.1.Найти оригинал , имеющий изображение

.

Разложим это изображение на простейшие дроби:

.

Первое слагаемое в полученном изображении можно умножить и разделить на 2: , т.к. при и . Учитывая формулу (1.8), запишем оригинал этого изображения:

≒.

Второе слагаемое представим в виде: , которое соответствует виду изображения (21.22) - , при , , и . Учитывая формулу (21.23), запишем оригинал этого изображения: ≒.

Таким образом, окончательный вид оригинала, соответствующий исходному изображению, будет:

≒.

 

Пример 21.2.Найти оригинал , имеющий изображение .

Рассмотрим два метода.

1. Разложение изображения на сумму изображений.

Представим исходное изображение в виде суммы простых дробей

С учетом того, что

≒t^m, то при m = 1, будем иметь ≒t и ≒1;

≒, то при α = -1, будем иметь ≒e^-t.

Следовательно, изображение имеет оригинал вида t-1+e^-t, т.е.

≒ t-1+e^-t.

 

2. Разложение изображения на произведение изображений.

Обозначим

≒e^-t = f₁(t) и ≒t = f₂(t).

Применив формулу Дюамеля ≒, получим

≒

Следовательно, изображение имеет оригинал вида t-1+e^-t, т.е.

≒ t-1+e^-t.

Пример 21.3.Найти оригинал , имеющий изображение .

Обозначим

≒= f₁(t) и ≒ e^t = f₂(t).

Применив формулу Дюамеля ≒, получим

≒

Следовательно, изображение имеет оригинал вида , т.е.

≒.