Решение задачи Коши для волнового уравнения методом Тейлора

 

Задача Коши для волнового уравнения, описывающего вынужденные колебания какого-либо трехмерного объекта

(15.14)

с начальными условиями

(15.15)

где – неизвестная функция; – заданные функции; - вектор с координатами (x,y,z), может быть решена методом Тейлора. Суть метода заключается в том, что решение поставленной задачи ищется в виде ряда

(15.16)

Если найти все функции , то по формуле (15.16) получим решение исходной задачи Коши. Заметим, что определяются из начальных условий (15.15), остальные коэффициенты можно найти по формуле

(15.17)

 

Пример 15.4. Найти решение уравнения

▲ Здесь

Так как и , то по (15.17)

Отсюда, при n = 0, получим

при n = 1, получим

при n = 2, получим

при n = 3, получим

при n = 4, получим

то есть, все остальные

Подставляем найденные в решение (15.16)

Окончательно,

▲

 

Пример 15.5. Найти решение уравнения

▲ Здесь Так как и , то по (15.17)

Найдем по этой формуле

И так далее, все остальные

Подставляем полученные в решение (15.16)

Таким образом, решением исходного уравнения является функция

▲