Свойства отображений и функций

 

Пусть задана функция или отображение f: A → B.

Свойство 1. Если , то f – называется инъективной функцией (отображением).

Т.е. каждому соответствует единственный

Свойство 2. Если для любого найдется такой, что b = f(a) , то f сюръективная функция (отображение).

Т.е. область значений E(f) = B.

Свойство 3. Если f инъективна и сюръективна, то f называется биективной функцией (отображением).

На основании третьего свойства можно сделать вывод:

Биективная функция f: A → B осуществляет взаимнооднозначное соответствие между А и В.

Примеры:

а). Функция f(x) = e^x задает отображение R в R : D(f) = R, E(f) = R₊ .

Она инъективна (каждому х единственное у), но не сюръективна, т.к.

б). f(x) = x³ - x задает отображение R на R : D(f) = R, E(f) = R_. Она не инъективна, т.к. при х = 1 и х = -1 f(x) = 0.

в). f(x) = 2x + 1 задает отображение R на R : D(f) = R, E(f) = R_. Она инъективна и сюръективна, значит, биективна.