Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования

Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. ЗЛП с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение, вообще говоря, невозможно.

Случай двух переменныхне имеет особого практического значения, однако его рассмотрение проясняет свойства ЗЛП, приводит к идее ее решения, делает геометрически наглядными способы решения и пути их практической реализации.

Пусть дана задача

(1.1)

Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каждое из ограничений задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полуплоскость – выпуклое множество. Но пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (1.1) есть выпуклое множество.

Напомним, что выпуклым называют множество, которое вместе с любыми своими точками x⁽¹⁾ и х⁽²⁾ содержит и все точки х отрезка [x⁽¹⁾; х⁽²⁾], т. е. точки x=λ х⁽¹⁾ + (1-λ) х⁽²⁾, где 0£l£1. Иногда это свойство записывают иначе: , где

На рис. 1.1 представлены возможные ситуации, когда область допустимых решений ЗЛП — выпуклый многоугольник (а), неограниченная выпуклая многоугольная область (б), единственная точка (в), луч (г), отрезок (д), пустое множество (е).

Рис. 1.1. Области допустимых решений ЗЛП

Перейдем к геометрической интерпретации целевой функции. Пусть область допустимых решений ЗЛП – непустое множество, например многоугольник (рис. 1.2). Выберем произвольное значение целевой функции F=F₀. Получим . Это уравнение прямой линии. В точках прямой NM целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение F₀. Считая в равенстве (1.1) F параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).